延长羁押期限的批准主体根据案件所处的诉讼阶段及案件的具体情况有所不同，主要涉及人民检察院和人民法院。以下是对这一问题的详细解答：
一、侦查阶段（公安阶段）
在侦查阶段，延长羁押期限的批准主体主要是人民检察院。具体规定如下：
一般延长：
- 根据《刑事诉讼法》第156条，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限通常不超过2个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长1个月。
特定情形延长：
- 依据《刑事诉讼法》第158条，对于交通十分不便的边远地区的重大复杂案件、重大的犯罪集团案件、流窜作案的重大复杂案件以及犯罪涉及面广，取证困难的重大复杂案件，在《刑事诉讼法》第156条规定的期限届满不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以延长2个月。
- 若犯罪嫌疑人可能判处10年有期徒刑以上刑罚，且依照《刑事诉讼法》第158条规定延长期限届满仍不能侦查终结的，同样经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以再延长2个月（《刑事诉讼法》第159条）。
特殊情况处理：
- 在侦查期间，如果发现犯罪嫌疑人另有重要罪行，自发现之日起依照《刑事诉讼法》第156条的规定重新计算侦查羁押期限。
- 若犯罪嫌疑人不讲真实姓名、住址，身份不明的，侦查羁押期限自查清其身份之日起计算，但不得停止对其犯罪行为的侦查取证。
二、审查起诉阶段（检察院阶段）
在审查起诉阶段，羁押期限的延长并不直接涉及“批准”问题，而是通过重新计算审查起诉期限来实现。具体规定如下：
- 根据《刑事诉讼法》第172条，人民检察院对移送起诉的案件应在1个月内作出决定，复杂案件可延长15日；认罪认罚且符合速裁程序的，应在10日内决定，有期徒刑超过1年的可延长至15日。
- 改变管辖的案件，从改变后的人民检察院收到案件之日起计算审查起诉期限。
- 补充侦查以二次为限，每次补充侦查完毕移送后，人民检察院重新计算审查起诉期限。
虽然此阶段不直接涉及“批准延长羁押期限”，但审查起诉期限的重新计算实际上起到了延长羁押效果的作用。
三、审判阶段（法院阶段）
在审判阶段，延长羁押期限的批准主体是人民法院。具体规定如下：
一审阶段：
- 根据《刑事诉讼法》第208条，公诉案件应在受理后2个月内宣判，最迟不超过3个月。
- 可能判处死刑、附带民事诉讼或有特殊情形的案件，经上一级法院批准可延长3个月；因特殊情况还需延长的，需报请最高人民法院批准。
二审阶段：
- 依据《刑事诉讼法》第243条，二审案件应在2个月内审结。
- 同样，可能判处死刑、附带民事诉讼或有特殊情形的案件，经省级高级法院批准可延长2个月；因特殊情况还需延长的，也需报请最高人民法院批准。
总结与建议
延长羁押期限是一个严格受法律程序和条件限制的过程，涉及多个诉讼阶段和不同级别的司法机关。在具体操作中，必须严格遵守相关法律规定，确保每一延长决定都有明确的法律依据和充分的理由。
如果您或您身边的人遇到涉及延长羁押期限的法律问题，建议及时向我咨询，以便根据具体情况提供针对性的法律建议和帮助。