结论前置：在我国法律框架下，无法通过法律程序直接“断绝父子关系”，但可以通过法律途径要求儿子履行赡养义务。

一、法律上无法断绝父子关系

1. 血缘关系不可改变：父子关系是基于血缘关系而存在的，这种关系在法律上是不允许通过任何方式断绝的。无论是通过协议还是诉讼，都无法改变父子之间的血缘联系。

2. 法律未规定断绝父子关系：我国法律并未规定可以通过法律程序断绝父子关系。因此，即使父亲病重，儿子不管，也无法通过法律手段直接断绝父子关系。

二、可以要求儿子履行赡养义务

1. 赡养义务的法律基础：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母有赡养扶助的义务。这包括经济上的供养、生活上的照料和精神上的慰藉。当父母年老、患病或丧失劳动能力时，子女应当履行赡养义务。

2. 如何要求儿子履行赡养义务：

   • 协商解决：首先，可以尝试与儿子进行协商，要求他履行赡养义务。这可以包括提供经济支持、照顾生活起居等。
   • 寻求调解：如果协商无果，可以寻求当地居委会、村委会或人民调解委员会的帮助，进行调解。调解是一种非诉讼的解决方式，有助于化解家庭矛盾。
   • 提起诉讼：如果调解仍然无法解决问题，可以向人民法院提起诉讼，要求儿子履行赡养义务。法院会根据具体情况判决儿子承担相应的赡养责任。

3. 诉讼中的注意事项：

   • 收集证据：在提起诉讼前，需要收集相关证据，如父亲的医疗记录、经济状况证明、儿子的收入证明等，以证明儿子有能力履行赡养义务而未履行。
   • 明确诉讼请求：在起诉状中，需要明确诉讼请求，如要求儿子支付赡养费、承担医疗费用等。
   • 遵循法律程序：在诉讼过程中，需要遵循法律程序，如按时出庭、提交证据等。

三、其他建议

1. 加强沟通：在处理此类问题时，加强沟通是非常重要的。可以尝试与儿子进行深入的交流，了解他的想法和困难，寻求共同解决问题的办法。

2. 寻求社会支持：如果儿子确实无法履行赡养义务，可以寻求社会支持，如申请社会救助、联系慈善机构等，以减轻父亲的负担。

3. 考虑遗嘱安排：如果父亲担心自己去世后财产分配问题，可以考虑提前立遗嘱，明确财产的分配方式，以避免家庭矛盾。

最后，面对父亲病重而儿子不管的情况，虽然无法直接断绝父子关系，但可以通过法律途径要求儿子履行赡养义务。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。