结论前置：
详细分析：
一、抚养费的法定义务
抚养未成年子女是父母的法定义务，这一义务不会因一方放弃财产分割而消除。根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。这一规定确保了子女在父母离婚后仍能得到必要的生活、教育和医疗等支持。抚养费的支付是基于父母与子女的身份关系，旨在保障子女的合法权益，与父母之间的财产分割是两个独立的法律关系。
二、无需支付抚养费的特定情况
尽管支付抚养费是法定义务，但在以下特定情况下，离婚后可能无需支付抚养费：
子女已成年：如果离婚时子女已经成年（通常指年满18岁），父母通常无需再支付抚养费。因为成年子女已经具备独立生活的能力，不再需要父母的抚养。
直接抚养子女：直接抚养子女的一方，自然无需向自己支付抚养费。因为抚养费是支付给直接抚养子女的一方，用于子女的日常生活、教育和医疗等开支。
协议约定：夫妻双方可以在离婚协议中明确约定，不需要非抚养子女方支付抚养费。只要这一约定是双方自愿且合法的，非抚养子女方就无需支付抚养费。但需要注意的是，这种约定不能损害子女的合法权益，且子女在必要时仍有权向父母任何一方提出超过协议原定数额的合理要求。
一方自愿承担：如果夫妻一方自愿承担全部抚养费，并且明确要求另一方不承担，那么另一方也无需支付抚养费。这种情况下，自愿承担抚养费的一方需要确保有足够的经济能力来满足子女的需求。
三、抚养费的协商与调整
双方可协商：虽然法律规定了抚养费的支付原则，但夫妻双方仍可就具体数额和支付方式进行协商。如果双方达成一致，且不损害子女的合法权益，法律将尊重这一约定。协商的内容可以包括抚养费的数额、支付方式、支付时间等。
子女的合理要求：即使双方有协议，子女在必要时仍有权向父母任何一方提出超过协议原定数额的合理要求。例如，因物价上涨、子女突发重大疾病等原因导致原定抚养费不足以满足实际需求时，子女可以要求增加抚养费。这种情况下，父母双方应协商解决，如果协商不成，可以向人民法院提起诉讼。
法院裁决与调整：如果双方无法就抚养费问题达成协议，或者情况发生变化需要调整抚养费数额，可以向人民法院提出申请。法院将综合考虑双方的经济状况、子女的实际需求以及当地的生活水平等因素，作出公正裁决。裁决的内容可能包括抚养费的数额、支付方式、支付时间等。
四、特殊情况的处理
在司法实践中，如果一方放弃财产分割是基于特定原因（如为了尽快离婚、对方存在经济困难等），法院在审理抚养费问题时会综合考虑各种因素来确定抚养费的支付方式和数额。如果一方确实存在经济困难，无力支付抚养费，法院可能会根据实际情况适当调整抚养费的数额或允许其分期支付。但这并不意味着可以完全免除支付抚养费的义务。因为抚养费是保障子女合法权益的重要法律制度，父母双方都应承担起相应的责任和义务。
建议与总结：
离婚时，是否支付抚养费主要取决于是否直接抚养子女以及双方的具体约定。在任何情况下，都应确保子女的合法权益得到保障。如果确实存在经济困难或其他特殊情况，建议双方通过协商或法律途径寻求解决方案。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。