结论概述：没有驾驶证租车后车辆被抵押，车行是否有责任需视具体情况而定。主要考察车行在出租车辆时是否尽到了合理的审查义务，以及抵押行为是否合法有效。
详细分析：
车行的审查义务：
- 车行在出租车辆时，有义务对租车人的身份、驾驶资格等进行合理审查。这是为了保障车辆的安全使用，防止因租车人无驾驶资格而引发的交通事故或违法行为。
- 如果车行在出租车辆时未尽到合理的审查义务，例如未要求租车人出示驾驶证或未核实驾驶证的真实性，那么车行可能因疏忽大意而承担一定的法律责任。
抵押行为的合法性：
- 抵押行为需要满足一定的法律条件，包括抵押物的合法性、抵押人的处分权、抵押合同的合法性等。
- 如果租车人未经车行同意，擅自将车辆抵押给他人，且该抵押行为不符合法律规定（如抵押物非租车人所有、抵押合同无效等），那么该抵押行为可能无效。
- 在此情况下，车行作为车辆的所有权人，有权要求抵押权人返还车辆，并可能追究租车人的法律责任。
车行可能承担的责任：
- 如果车行在出租车辆时未尽到审查义务，且该疏忽与车辆被抵押之间存在因果关系（例如，因车行未审查驾驶证，导致租车人无驾驶资格而更容易被他人利用车辆进行抵押），那么车行可能因过错而承担一定的赔偿责任。
- 但如果车行已经尽到了合理的审查义务，且抵押行为完全是由租车人个人行为导致，与车行无关，那么车行通常不承担责任。
法律建议：
- 对于车行而言，应加强对租车人的身份和驾驶资格的审查，确保出租车辆的安全使用。同时，在出租合同中明确约定租车人的权利和义务，以及违约责任等条款，以降低法律风险。
- 对于租车人而言，应遵守法律法规和合同约定，不得擅自将车辆抵押给他人。否则，将可能面临法律责任和信用损失。
- 如果车辆已经被抵押且涉及法律纠纷，建议车行和租车人及时咨询专业律师，了解自身权利和义务，并寻求合法的解决方案。
可能后果：
- 如果车行被认定存在过错并需承担责任，可能面临赔偿损失、支付违约金等法律后果。
- 如果租车人擅自抵押车辆并构成犯罪（如诈骗罪等），将可能面临刑事处罚。
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