结论：公司是否需承担责任需分情况讨论，主要取决于公司是否尽到管理义务及是否存在过错。以下是具体分析及处理建议：

一、公司可能承担责任的情形

1. 未履行安全保障义务
   根据《民法典》第1198条，公司作为工作场所的管理者，有义务为员工提供安全的工作环境。若公司未安装监控、未及时制止冲突、未提供安全培训等，导致员工因口角升级为肢体冲突，公司可能因“未尽到安全保障义务”承担补充责任（即在打人者无法赔偿时，公司需承担部分赔偿责任）。

2. 存在管理过错
   若公司明知员工之间存在长期矛盾，但未采取调解、调岗等措施，导致冲突爆发，公司可能因“管理失职”被认定为存在过错，需承担按份责任（根据过错程度承担部分赔偿）。

3. 工伤认定可能性
   若冲突发生在工作时间、工作场所内，且与工作直接相关（如因工作分配、业绩考核等争执），被打员工可能被认定为工伤（《工伤保险条例》第14条）。此时公司需承担工伤赔偿责任（如医疗费、误工费等）。

二、公司无需承担责任的情形

1. 冲突与工作无关
   若口角因私人恩怨引发（如情感纠纷、家庭矛盾等），且公司已尽到基本管理义务（如及时报警、制止冲突），公司通常无需承担责任。

2. 打人者为第三方
   若打人者是客户、供应商等非公司员工，公司仅需协助报警、提供证据，无需直接赔偿，但需证明已尽到安全保障义务（如安排保安、设置警示标识等）。

三、处理建议

1. 对被打员工

   • 立即报警：由公安机关调查冲突原因、伤情鉴定，固定证据。
     
   • 申请工伤认定：若冲突与工作相关，在30日内向公司提出工伤认定申请；公司未申请的，员工可在1年内自行申请。
     
   • 索赔途径：优先向打人者索赔（民事侵权赔偿）；若打人者无力赔偿，可要求公司承担补充责任（需证明公司存在过错）。

2. 对公司

   • 内部调查：核实冲突原因、是否与工作相关，调取监控、证人证言等证据。
     
   • 协助处理：陪同员工就医、配合警方调查、协调双方和解。
     
   • 完善管理：加强员工矛盾排查、开展安全培训、设置投诉渠道，降低类似风险。

3. 对打人者

   • 行政处罚：公安机关可根据《治安管理处罚法》处以拘留、罚款。
     
   • 刑事责任：若造成轻伤以上后果，可能构成故意伤害罪，需承担刑事责任。
     
   • 民事赔偿：需赔偿医疗费、误工费、护理费等损失。

提示：具体责任需结合冲突细节、证据情况综合判断。若有进一步疑问（如工伤认定流程、赔偿标准等），可直接向我咨询，我会结合您的具体情况详细解答。