结论：在向乡镇政府提交行政调解申请书时，应当同时给被申请人一份。以下是具体分析：

1. 法律程序要求
   根据《中华人民共和国人民调解法》及相关地方性法规，行政调解程序启动后，调解机构（如乡镇政府）需将申请书副本送达被申请人，确保其知情权与参与权。这是程序正当性的基本要求，避免因信息不对称导致调解无效或后续争议。

2. 被申请人权利保障
   被申请人有权了解调解申请的具体内容（如争议事实、诉求依据等），以便准备答辩材料、收集证据或提出反诉。若未送达申请书，可能构成程序违法，导致调解结果被撤销或不予执行。

3. 调解效率与公平性
   提前送达申请书可促进双方在调解前充分沟通，减少现场对抗性，提高调解成功率。若仅由调解机构单方面转述申请内容，可能因信息偏差影响被申请人权益，违背调解的公平原则。

4. 实务操作建议

   • 送达方式：可通过直接送达、邮寄（留存凭证）或电子送达（需被申请人确认）等方式完成。
     
   • 证据留存：建议申请人要求调解机构出具《申请书送达回证》，或自行通过公证、录音录像等方式固定送达事实，以防后续纠纷。
     
   • 例外情形：若被申请人明确拒绝接收或下落不明，调解机构可依法公告送达，但需以穷尽其他方式为前提。

总结：送达申请书是被申请人参与调解的必要前提，申请人应主动配合调解机构完成送达程序，并留存相关证据。若对具体操作有疑问，可进一步向我咨询。