结论前置：被刑拘后申请取保候审并没有固定的天数限制，理论上在整个刑事拘留期间均可申请，但批准与否取决于案件性质、证据情况、犯罪嫌疑人个人条件及司法实践中的具体考量。以下是对该问题的详细分析：
一、取保候审的申请时机与阶段
侦查阶段：
- 刑拘初期：若案件简单，证据收集迅速，且犯罪嫌疑人符合取保候审条件，如可能判处管制、拘役或独立适用附加刑，或判处有期徒刑以上刑罚但不致发生社会危险性，此时提出申请可能获得较快审查。
- 延长拘留期限时：公安机关在特殊情况下可延长提请审查批准逮捕的时间。若案件证据不足或存在取保候审情形，此时期提出申请较为合适。
- 最长拘留期限届满前：对于复杂案件或涉及流窜作案、多次作案、结伙作案的嫌疑人，提请审查批准的时间可延长。临近此期限，若侦查机关认为不适合继续羁押，申请取保候审的成功率可能增加。
审查逮捕阶段：
- 人民检察院在接到公安机关提请批准逮捕书后的七日内作出决定。若检察院不批准逮捕，公安机关应释放犯罪嫌疑人，对于需继续侦查且符合取保候审条件的，可申请取保候审。
二、取保候审的法定条件
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条，以下情形的犯罪嫌疑人、被告人可以取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑：这包括了对罪犯不予关押但限制其自由的管制，短期剥夺犯罪分子人身自由的拘役，以及罚金、剥夺政治权利等附加刑的独立适用。
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性：此条件需综合考虑犯罪性质、情节、悔罪表现及再犯可能性等因素。
- 患有严重疾病、生活不能自理，或怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性：这类特殊人群在符合条件下可获得取保候审。
- 羁押期限届满，案件尚未办结：当羁押时间已达或接近法定期限，而案件仍在处理中时，可采取取保候审措施。
三、申请取保候审的流程与注意事项
- 寻求专业帮助：尽早联系我，作为专业律师，我可以根据案情和法律规定提供专业意见，协助准备申请材料，并与办案机关沟通协商。
- 准备充分材料：包括犯罪嫌疑人基本情况、案情说明、取保候审理由及依据等。
- 配合调查：犯罪嫌疑人应积极配合侦查机关的调查工作，展现良好态度。
- 耐心等待审批：取保候审由公安机关执行，最终是否批准由相关司法机关根据案件具体情况决定。
四、实际案例与法律建议
在实际操作中，我曾处理过多起类似案件。例如，某犯罪嫌疑人因涉嫌诈骗被刑拘，其家属在刑拘后第三天向我咨询并申请取保候审。我根据案情和法律规定，准备了详细的申请材料，并与办案机关进行了充分沟通。最终，在刑拘后的第七天，该犯罪嫌疑人成功获得取保候审。
法律建议：
- 尽早申请：一旦符合取保候审条件，应尽早提出申请，以免错过最佳时机。
- 充分准备：申请材料要充分、详实，能够充分证明犯罪嫌疑人符合取保候审条件。
- 积极配合：犯罪嫌疑人及其家属应积极配合侦查机关和律师的工作，共同推动案件的顺利处理。
综上所述，被刑拘后申请取保候审并没有固定的天数限制，但批准与否取决于多种因素。如果您或您的亲友面临类似情况，请直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律帮助。