1. 结论前置：在我国，刑事拘留后申请取保候审并没有固定的天数限制。只要符合法定条件，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人随时可以向公安机关提出申请。取保候审的审批由办案机关决定，并需遵守相关流程和规定。

2. 申请取保候审的时机：

   • 侦查阶段：犯罪嫌疑人被刑事拘留后的整个侦查阶段均可申请取保候审。但值得注意的是，在拘留后的前37天内（即公安机关提请检察院审查批准逮捕的期限内），是申请取保候审的“黄金时期”。若在此期间检察院未批准逮捕，申请取保候审的成功率相对较高。
   • 审查起诉阶段：案件移送人民检察院审查起诉后，同样可以申请取保候审。此时，检察机关会综合考量案件证据、犯罪嫌疑人的社会危险性等因素作出决定。
   • 审判阶段：在法院审理案件过程中，被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人也有权申请取保候审。法院会根据被告人的具体情况，如可能判处的刑罚、是否具有社会危险性等，来判断是否准许申请。

3. 取保候审的法定条件： 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

   • 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
   • 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的；
   • 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的；
   • 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取取保候审措施的。

4. 申请取保候审的流程：

   • 申请：提交书面的取保候审申请书，明确申请理由和依据。犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人均有权提出申请。
   • 决定：公安机关、人民检察院或人民法院在收到申请后，应在三日以内作出是否同意的决定。若不同意，需告知申请人并说明理由。
   • 执行：若同意取保候审，被取保候审人需提出保证人或交纳保证金，并由公安机关执行取保候审措施。

5. 取保候审期间的注意事项：

   • 取保候审并不意味着案件的终结或犯罪嫌疑人无罪，而只是暂时改变其羁押状态，待案件进一步审理后再作最终决定。
   • 在取保候审期间，被取保候审人必须严格遵守相关规定，如未经执行机关批准不得离开所居住的市、县，不得干扰案件的侦查和审理等。违反这些规定可能导致取保候审被撤销，并可能被重新羁押。

6. 专业建议：

   • 鉴于取保候审涉及复杂的法律规定和操作程序，且每个案件的具体情况都有所不同，因此建议犯罪嫌疑人、被告人及其家属在面临此类情况时，尽早向我咨询以获取准确的法律意见和帮助。
   • 在申请取保候审时，应充分准备相关材料，如犯罪嫌疑人的身份证明、案件情况说明、取保候审申请书等，并积极配合司法机关的审批和执行工作。

综上所述，刑事拘留后申请取保候审并没有固定的天数限制，但只要符合法定条件并遵循相关流程，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或辩护人均有权提出申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。