结论：父亲已故、母亲健在的情况下，母亲写遗嘱处分房产并不一定需要公证，但公证可以增强遗嘱的法律效力和证明力。

分析说明：

1. 遗嘱的公证并非法定要求：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗嘱的公证并非遗嘱生效的必要条件。遗嘱只要符合法定形式要件（如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名，并注明年、月、日；代书遗嘱需有两个以上见证人在场见证等），即具有法律效力。

2. 公证遗嘱的优势：

   • 增强法律效力：公证遗嘱由公证机构依法出具，具有更强的法律效力和证明力。在遗嘱继承过程中，公证遗嘱更容易被法院采纳作为认定遗嘱人真实意愿的依据。
   • 减少纠纷：公证遗嘱经过公证机构的严格审查，可以确保遗嘱内容的合法性和真实性，从而减少因遗嘱内容不明确或存在争议而引发的家庭纠纷。

3. 非公证遗嘱的效力：

   • 如果母亲选择不公证遗嘱，只要遗嘱符合法定形式要件，仍然具有法律效力。但在遗嘱继承过程中，可能需要提供更多的证据来证明遗嘱的真实性和合法性，这可能会增加继承的复杂性和不确定性。

特殊场景：

• 如果房产属于父母共同财产，母亲在遗嘱中只能处分其个人所有的部分。对于父亲所有的部分，母亲无权通过遗嘱进行处分。因此，在写遗嘱时，母亲需要明确区分房产中属于其个人所有的部分和属于父亲所有的部分。

行动建议：

1. 考虑公证：如果母亲希望确保遗嘱的法律效力和证明力，减少未来可能出现的纠纷，可以考虑将遗嘱进行公证。
2. 咨询专业律师：在写遗嘱前，母亲可以咨询专业律师，了解遗嘱的法定形式要件和注意事项，确保遗嘱的合法性和有效性。
3. 妥善保管遗嘱：无论遗嘱是否公证，母亲都需要妥善保管遗嘱原件，并告知继承人遗嘱的存在和存放地点，以便在需要时能够及时找到并执行遗嘱。

法律依据：

• 《中华人民共和国民法典》第一千一百三十四条：自书遗嘱由遗嘱人亲笔书写，签名，注明年、月、日。
• 《中华人民共和国民法典》第一千一百三十五条：代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并由遗嘱人、代书人和其他见证人签名，注明年、月、日。
• 《中华人民共和国民法典》第一千一百三十九条：公证遗嘱由遗嘱人经公证机构办理。

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