针对您收留别人的狗一段时间后，狗从笼子跑出并先后咬伤您和他人，您可能需要承担的责任问题，分析如下：
动物饲养人或管理人的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或者管理人应当对动物造成的损害承担侵权责任。在此情况下，虽然您并非狗的原始主人，但您在收留期间实际上成为了狗的管理人。因此，当狗造成损害时，您可能需要承担相应的赔偿责任。
您可能承担的责任类型：
- 对您的赔偿责任：如果狗首先咬伤了您，从法律上讲，这通常不会构成您对自身的赔偿责任，因为您不能是自己的侵权人。但如果您在管理过程中存在过错（如未妥善看管导致狗逃脱），且这种过错与您的受伤有因果关系，那么在实际情况中，您可能需要自行承担部分或全部医疗费用，但这更多是基于自我负责的原则，而非法律上的赔偿责任。不过，若您购买了相关保险（如个人意外伤害保险），则可能获得保险赔偿。
- 对他人的赔偿责任：当狗咬伤他人时，作为管理人，您需要承担侵权责任，赔偿受害人的医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾或死亡，还需要赔偿相应的残疾赔偿金或死亡赔偿金。
责任减轻或免除的情形：
- 受害人故意或重大过失：如果受害人故意挑逗、激怒狗或者存在重大过失（如擅自闯入您的私人领地），导致被咬伤，那么您可以减轻或者免除赔偿责任。
- 不可抗力或意外事件：如果狗逃脱并咬人是由于不可抗力（如自然灾害）或意外事件（如突然的巨响惊吓到狗）导致的，且您已经尽到了合理的管理义务，那么您可能不需要承担赔偿责任。但这种情况较为罕见，且需要具体证据支持。
建议措施：
- 立即采取措施：在狗逃脱并咬人后，您应立即采取措施控制狗，防止其继续造成损害，并尽快将受害人送往医院接受治疗。
- 收集证据：收集与事件相关的证据，如监控录像、目击者证言等，以证明您已经尽到了合理的管理义务或者受害人存在过错。
- 协商赔偿：与受害人或其家属进行协商，就赔偿事宜达成一致意见。如果协商无果，可以寻求法律途径解决。
- 加强管理：在未来的生活中，加强对收留动物的管理，确保类似事件不再发生。
总结来说，作为狗的管理人，您在狗造成损害时可能需要承担相应的赔偿责任。但具体责任的大小和是否免除，需要根据实际情况和法律规定进行综合判断。如果您对此有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。