家属申请给嫌疑人做精神鉴定的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》和《中华人民共和国刑法》的相关规定。以下是详细解释：
《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 第一百四十六条：该条款规定，为了查明案情，需要解决案件中某些专门性问题的时候，应当指派、聘请有专门知识的人进行鉴定。在涉及犯罪嫌疑人精神状况的问题上，如果家属认为犯罪嫌疑人可能存在精神问题，影响其刑事责任能力，就可以依据此条款申请进行精神鉴定。
- 第一百四十八条：此条款规定，侦查机关应当将用作证据的鉴定意见告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，可以补充鉴定或者重新鉴定。这意味着，家属在收到鉴定意见后，如果对结果有异议，有权申请补充鉴定或重新鉴定。
《中华人民共和国刑法》的相关规定：
- 第十八条：该条款详细规定了精神病人在刑事责任方面的特殊处理。具体来说，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候造成危害结果，经法定程序鉴定确认的，不负刑事责任。但是，应当责令他的家属或者监护人严加看管和医疗；在必要的时候，由政府强制医疗。这一条款为家属申请精神鉴定提供了直接的法律依据，因为鉴定结果将直接影响犯罪嫌疑人的刑事责任认定。
申请流程与注意事项：
- 申请流程：家属应向具体承办案件的司法机关（如公安机关、人民检察院、人民法院）提交书面申请，申请书中需清晰阐述申请理由，并提供相关初步证据或线索。司法机关将综合考虑案件情况、申请理由的合理性及鉴定的必要性，决定是否启动鉴定程序。
- 注意事项：
- 及时性：尽早提出申请，以确保案件审理过程中及时获得鉴定结果。
- 专业性：确保选定的鉴定机构具备相应资质和专业能力，以保证鉴定结果的准确性和可靠性。
- 配合性：在整个鉴定过程中，家属应积极配合，提供必要的协助和支持，确保鉴定工作的顺利进行。
可能产生的法律后果：
- 如果鉴定结果显示犯罪嫌疑人无刑事责任能力或限制刑事责任能力，司法机关将根据具体情况作出相应处理，如不负刑事责任、从轻或减轻处罚等。
- 如果家属对鉴定结果有异议，可以在规定时间内申请重新鉴定，以确保鉴定结果的公正性和准确性。
综上所述，家属申请给嫌疑人做精神鉴定是有明确法律依据的，且这一申请过程需遵循法定程序。如果您或您的家人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。