当商票到期承兑人拒付时，持票人确实有权在当天（或更准确地说，在得知拒付事实后尽快）发起拒付追索，但这一过程需要遵循一定的法律程序和规定。以下是对此问题的详细解答：

一、法律依据

根据《中华人民共和国票据法》第六十一条，汇票到期被拒绝付款的，持票人可以对背书人、出票人以及汇票的其他债务人行使追索权。这意味着，一旦承兑人拒绝付款，持票人便拥有了法律上的追索权利。

二、行使追索权的条件

1. 取得拒付证明：

   • 持票人需要从承兑人或相关系统中获取拒付记录信息，或者要求承兑人出具书面的拒绝证明或退票理由书。这是行使追索权的关键证据，没有这份证明，持票人的追索权可能会受到影响。

2. 提示付款：

   • 在票据到期日起10日内，持票人应通过电子商业汇票系统或其他规定方式向承兑人提示付款。如果持票人未在规定期限内提示付款，可能会丧失对其前手的追索权（但不影响对出票人和承兑人的追索权）。不过，在承兑人已经拒付的情况下，这一步骤实际上已经在拒付事实发生时完成或无需再行完成，但重要的是要确保之前已经按照规定进行了提示付款的操作。

三、行使追索权的步骤

1. 立即获取拒付证明：

   • 一旦承兑人拒付，持票人应立即通过电子商业汇票系统获取拒付记录，或要求承兑人出具书面拒绝证明。

2. 发出追索通知：

   • 持票人应在收到拒付证明之日起3日内，将被拒绝事由书面通知其前手，并可同时通知所有被追索人（包括出票人、背书人等）。通知内容应包括汇票详情、拒付事实及证明、追索意愿等。

3. 确定追索金额：

   • 追索金额包括汇票金额、自到期日或提示付款日起至清偿日止按中国人民银行规定利率计算的利息，以及取得拒付证明和发出通知书的费用。

4. 选择追索方式：

   • 持票人可以通过电子商业汇票系统进行线上追索，也可以采用书面函件、诉讼等线下方式。线下追索时，需要准备充分的证据材料，如汇票原件、拒付证明、追索通知等。

四、特殊情况与注意事项

• 部分追索对象破产：如果某追索对象丧失偿债能力（如破产），持票人仍可向其他有偿还能力的对象追索，并对破产对象申报债权参与分配。

• 追索权时效：持票人对出票人、承兑人的追索权时效为票据到期日起两年；对前手的追索权时效为被拒绝承兑或付款之日起六个月内。因此，持票人应在规定时效内行使追索权。

• 真实交易关系：持票人与直接前手间须有真实的交易关系和债权债务关系，这是行使追索权的前提。如果交易关系不真实或存在瑕疵，可能会影响追索权的行使。

五、实际操作建议

• 及时行动：一旦得知承兑人拒付，持票人应立即采取行动，获取拒付证明并发出追索通知。

• 保留证据：在整个过程中，持票人应妥善保留所有相关证据，如汇票原件、拒付证明、追索通知、交易合同等，以备不时之需。

• 咨询专业人士：如果持票人对追索程序或法律规定有疑问，建议咨询专业律师或票据专家，以确保自身权益得到充分保障。

综上所述，商票到期承兑人拒付时，持票人可以在当天（或尽快）发起拒付追索，但必须遵循法律程序和规定，确保取得拒付证明、发出追索通知、确定追索金额并选择合适的追索方式。