民办非企业单位在注销时，若存在未结案的劳动仲裁案件，其注销程序并不会直接因劳动仲裁案件的存在而停止，但注销行为本身并不影响劳动仲裁案件的继续进行，且单位注销后，相关责任仍可能由其出资人或清算主体承担。以下从几个方面进行详细分析：

1. 注销程序与劳动仲裁案件的关系：

   • 民办非企业单位的注销，通常需要经过清算、公告、注销登记等程序。这些程序是单位终止其法人资格的必要步骤。
   • 劳动仲裁案件是单位与劳动者之间因劳动争议而引发的法律程序，其进行并不依赖于单位的法人资格是否存续。
   • 因此，即使单位正在注销过程中，劳动仲裁案件仍可继续进行，不受单位注销程序的影响。

2. 注销后劳动仲裁案件的继续与责任承担：

   • 如果民办非企业单位在注销前存在未结案的劳动仲裁案件，注销后，该案件仍可继续进行。此时，劳动仲裁机构或法院可能会将单位的出资人、清算主体等列为责任主体，要求其承担相应的法律责任。
   • 根据相关法律法规，单位注销后，其出资人或清算主体有义务清理单位的债权债务，包括处理未结案的劳动仲裁案件。如果出资人或清算主体未履行该义务，可能会面临法律责任。

3. 实际操作中的建议：

   • 对于民办非企业单位而言，在注销前应妥善处理所有劳动仲裁案件，确保与劳动者之间的争议得到妥善解决。这不仅可以避免注销后可能面临的法律责任，也有助于维护单位的声誉和形象。
   • 如果单位确实无法在注销前解决所有劳动仲裁案件，应确保在注销过程中明确清算主体的责任，并留下足够的资产用于清偿可能的债务。同时，应向劳动仲裁机构或法院说明情况，以便在注销后继续处理相关案件。

总结来说，民办非企业单位在注销时，若存在未结案的劳动仲裁案件，其注销程序并不会阻止劳动仲裁案件的继续进行。单位应妥善处理这些案件，或确保在注销过程中明确清算主体的责任，以避免注销后可能面临的法律责任。如果你在处理此类案件时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。