结论：在高速开车压到死狗的情况下，一般不能直接向道路管理部门或其他相关方索赔，但具体能否索赔需根据事故发生的具体情况、责任归属以及相关法律法规来综合判断。以下是从不同角度进行的分析：
一、责任归属角度
驾驶员责任：
- 如果驾驶员在高速上正常行驶，且没有违反交通规则（如超速、酒驾、疲劳驾驶等），那么驾驶员对压到死狗这一事件通常不承担直接责任。因为驾驶员在高速上行驶时，难以预见并避免此类突发情况。
- 如果驾驶员存在违规行为，且这些行为与压到死狗之间存在因果关系，那么驾驶员可能需要承担一定的责任。但这种情况下的责任划分会相对复杂，需要具体分析。
狗主人责任：
- 如果死狗是有人饲养的，且狗主人未尽到管理责任（如未拴绳、未看管好等），导致狗跑到高速上被压死，那么狗主人可能需要承担一定的责任。但这种情况下的索赔对象通常是狗主人，而非道路管理部门或其他相关方。
- 如果死狗是流浪狗，那么通常不存在明确的责任主体，因此难以进行索赔。
二、法律法规角度
道路交通安全法：
- 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，驾驶员在高速上行驶时应当遵守交通规则，确保行车安全。但该法律并未直接规定驾驶员在压到死狗等突发情况下的责任划分。
侵权责任法（现《民法典》侵权责任编）：
- 根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，如果因某人的过错导致他人财产受损，那么过错方应当承担侵权责任。但在高速开车压到死狗的情况下，很难直接认定驾驶员存在过错，除非驾驶员存在明显的违规行为。
三、实际操作角度
索赔难度：
- 在高速开车压到死狗的情况下，索赔的难度通常较大。因为需要证明驾驶员存在过错，且这种过错与压到死狗之间存在因果关系，这在实践中往往难以实现。
建议措施：
- 如果发生此类事件，建议驾驶员首先确保自身安全，然后及时报警并联系保险公司。保险公司会根据具体情况进行理赔处理，但通常这类事件不在保险理赔范围内，除非驾驶员购买了特定的附加险。
- 如果认为狗主人存在过错，可以尝试与狗主人协商解决，或者通过法律途径追究狗主人的责任。但需要注意的是，这需要充分的证据支持，且过程可能较为复杂和漫长。
总结与建议：在高速开车压到死狗的情况下，一般不能直接向道路管理部门或其他相关方索赔。如果认为存在责任方（如狗主人），可以尝试与其协商解决或通过法律途径追究责任。但无论如何，驾驶员在高速上行驶时都应当遵守交通规则，确保行车安全，以避免类似事件的发生。如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。