您好，关于您提出的“起诉孤寡老人遗产怎么处理”的问题，这是一个涉及法律继承和遗产管理的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，孤寡老人的遗产处理主要依据《中华人民共和国民法典》的相关规定。在处理这类遗产时，我们首先要查看是否存在合法有效的遗嘱、遗赠或遗赠扶养协议。这些文件会明确指定遗产的分配方式，如果有的话，我们应按照这些文件的指示来处理遗产。

如果孤寡老人没有留下遗嘱、遗赠或遗赠扶养协议，那么我们就需要按照法定继承的顺序来处理遗产。在法定继承中，配偶、父母、子女是第一顺序的法定继承人。然而，对于孤寡老人来说，他们往往没有第一顺序的继承人。在这种情况下，遗产将由第二顺序的继承人，即兄弟姐妹、祖父母、外祖父母来继承。如果第二顺序的继承人也不存在，或者他们先于孤寡老人去世，那么遗产可能会涉及到代位继承的问题，即由被继承人子女的直系晚辈血亲或者兄弟姐妹的子女来代位继承。

但值得注意的是，即使在没有直接血缘关系的情况下，如果有人对孤寡老人进行了较多的扶养，他们也有权分得适当的遗产。这是根据《民法典》第一千一百三十一条的规定：“对继承人以外的依靠被继承人扶养的人，或者继承人以外的对被继承人扶养较多的人，可以分给适当的遗产。”这一规定体现了法律对扶养行为的认可和鼓励，也符合中华民族的传统美德。

在司法实践中，如果孤寡老人的遗产无人管理，利害关系人可以向人民法院申请指定遗产管理人。这里的“利害关系人”不仅包括有直接继承关系的人，也包括那些对被继承人生前扶养较多的人。法院会根据实际情况，指定合适的遗产管理人来负责遗产的清理、分配等工作。

以您提到的案例为例，如果孤寡老人老李没有留下遗嘱或遗赠扶养协议，且他的外甥徐某作为代位继承人主张权利，但同时张某作为对老李扶养较多的人也主张分得遗产，那么法院会根据双方提供的证据和实际情况，结合《民法典》的相关规定，进行公正的裁决。在裁决过程中，法院会充分考虑张某对老李的扶养行为，以及这种行为所体现出的社会价值和道德意义。

最后，如果孤寡老人的遗产确实无人继承又无人受遗赠，那么这些遗产将归国家所有，用于公益事业。这是法律对无人继承遗产的一种处理方式，也是对社会公共利益的一种保障。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。