结论：员工到达退休年龄后，公司与员工的劳动合同是否终止，需根据员工是否开始依法享受基本养老保险待遇以及具体地区的司法实践来确定。若劳动合同终止，则不涉及辞退问题；若劳动关系继续存在而公司欲解除，则需遵循《劳动合同法》规定的合法解除情形，否则可能构成违法解除并需支付赔偿金。
详细分析：
员工开始依法享受基本养老保险待遇：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当员工开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即告终止。这意味着，一旦员工达到法定退休年龄且符合领取基本养老金的条件，公司即可依据法律规定终止与其的劳动合同，此种情况下合同终止是合法的，不属于辞退范畴，也无需支付经济补偿。
员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇：
- 在这种情况下，处理方式会因地区而异，存在两种主要的司法实践观点：
- 部分地区认定劳动关系终止：依据《劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止。这些地区认为，只要员工达到法定退休年龄，无论其是否享受基本养老保险待遇，劳动合同都自然终止。但需注意，这种观点并非全国统一，且可能因具体案情和地区差异而有所不同。
- 部分地区认定劳动关系继续存在：在这些地区，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。此时，若公司希望解除劳动合同，必须符合《劳动合同法》规定的合法解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。若公司无法证明解除劳动合同的合法性，则可能构成违法解除，需要向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定，即每工作一年支付两个月工资作为赔偿金。
后续工作安排与建议：
- 若员工在退休后仍希望在公司继续工作，且公司同意，双方可以协商签订新的劳务合同或其他协议。此时，双方建立的是劳务关系而非劳动关系，相关权利义务将按照劳务合同的约定执行。这有助于明确双方的权利和义务，避免潜在的纠纷。
- 对于公司而言，在处理员工退休与劳动合同终止的问题时，应充分考虑员工的养老保险待遇情况以及所在地区的司法实践。在劳动关系继续存在的情况下，如需解除劳动合同，务必确保符合法定解除情形，并保留好相关证据，以避免可能的法律风险和经济赔偿。
- 对于员工而言，若公司违法解除劳动合同，可以依法向劳动仲裁机构申请仲裁或向人民法院提起诉讼，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
总结与建议：
在处理员工退休与劳动合同终止的问题时，公司应谨慎行事，确保合法合规。建议公司在员工达到退休年龄前，提前与员工沟通了解其养老保险待遇情况和工作意愿，以便做出合理的决策。同时，公司应完善内部规章制度，明确劳动合同终止和解除的条件和程序，以减少不必要的法律风险和经济损失。若遇到具体法律问题或纠纷，建议及时向我咨询，以便获得更专业、更具体的法律建议。