结论：社区支书在任命后因抑郁症可以提出辞职，但具体辞职流程和可能产生的法律后果需根据实际情况和相关法律法规来确定。

分析：

1. 辞职的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》（若社区支书与相关部门存在劳动关系）或相关地方性法规、规章（若社区支书属于公务员或参照公务员管理的人员），劳动者或公务员在符合一定条件下有权提出辞职。抑郁症作为一种健康问题，可能构成辞职的合理理由，尤其是当它影响到工作能力和身心健康时。

2. 辞职流程：

   • 若社区支书与相关部门存在劳动关系：应按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，提前通知用人单位，并办理相关离职手续。具体提前通知的期限可能根据劳动合同或单位规章制度而定，一般为三十日（试用期为三日）。
   • 若社区支书属于公务员或参照公务员管理的人员：则需遵循《中华人民共和国公务员法》及相关规定，向任免机关提出书面辞职申请，并按照规定的程序办理离职手续。

3. 可能产生的法律后果：

   • 经济补偿：如果辞职符合法定条件，且用人单位存在过错（如未提供必要的劳动保护、未及时支付劳动报酬等），劳动者可能有权要求经济补偿。但在此情况下，因抑郁症辞职通常不直接触发经济补偿，除非能证明用人单位存在过错。
   • 服务期与违约金：如果社区支书在任职期间签订了服务期协议，并约定了违约金，那么在辞职时可能需要按照协议支付违约金。但这一规定主要适用于用人单位为劳动者提供专项培训费用的情况。
   • 职业限制与竞业禁止：如果社区支书的职位涉及职业限制或竞业禁止条款，辞职后需遵守相关约定，否则可能面临法律责任。

4. 特殊情况考虑：

   • 抑郁症的严重程度：如果抑郁症严重到无法继续工作，且经过医疗鉴定确认，那么辞职可能是必要的。在此情况下，建议社区支书及时与相关部门沟通，并寻求医疗帮助。
   • 单位的态度与支持：单位的态度和支持对于社区支书辞职后的过渡和康复至关重要。如果单位能够提供必要的帮助和支持，如调整工作岗位、提供心理咨询服务等，那么社区支书可能会考虑继续留任或延迟辞职。

建议：

• 咨询专业意见：在提出辞职前，建议社区支书咨询专业的医疗和心理机构，了解自己的健康状况和康复前景。同时，也可以咨询法律专业人士，了解辞职的法律后果和程序。
• 与单位沟通：在决定辞职前，与单位进行充分的沟通是非常重要的。可以说明自己的健康状况和辞职的原因，争取单位的理解和支持。
• 办理离职手续：无论选择何种方式辞职，都需要按照规定的程序办理离职手续，包括提交辞职申请、交接工作、办理社保和公积金转移等。

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