核心结论：退休时发现原公司倒闭且档案丢失，可通过以下途径解决档案问题并办理退休手续，具体分情况处理如下：

1. 联系原公司上级主管部门或清算组
   根据《企业破产法》及相关规定，公司倒闭后其档案应由上级主管部门（如国资委、控股股东）或清算组负责保管。您可先通过工商登记信息查询原公司的清算组负责人或上级单位，书面申请调取档案。若档案确已移交至档案馆（如当地人才市场、就业服务中心），需携带身份证、退休申请表等材料，向档案馆申请补办档案接收证明或复制档案内容。

2. 补办关键证明材料替代档案
   若档案无法找回，需重点补办以下材料以证明工作经历和社保缴纳情况：

   • 劳动关系证明：收集劳动合同、工资条、工作证、同事证言等，通过劳动仲裁确认劳动关系（依据《劳动争议调解仲裁法》）；
     
   • 社保缴纳记录：向当地社保局申请打印《养老保险个人账户明细》，证明缴费年限和基数；
     
   • 退休审批表：携带上述材料至人社局退休审批部门，填写《退休申请表》并说明档案丢失情况，由部门出具补办指引。

3. 申请特殊情况退休审核
   若原公司为国有企业或集体企业，部分地区人社局允许通过“视同缴费年限认定”程序补办退休手续。您需提交以下材料：

   • 原公司破产公告或清算文件（证明公司已终止）；
     
   • 社保缴纳记录及劳动关系证明；
     
   • 书面情况说明（详细陈述工作经历及档案丢失原因）。
     人社局将根据材料审核您的工龄和养老金待遇，可能要求公示或补充调查。

风险提示与建议：

• 时效性：档案补办可能涉及多部门协调，建议尽快启动流程，避免影响退休金发放时间；
  
• 证据保留：所有补办材料需留存复印件并加盖公章，防止后续争议；
  
• 法律援助：若原公司拒不配合或部门推诿，可向当地劳动监察大队投诉或提起行政诉讼（依据《行政诉讼法》）。
  

示例流程（以某市为例）：

1. 携带身份证至原公司注册地工商局查询清算组信息；
   
2. 向清算组申请档案移交证明，或直接至区档案馆查询；
   
3. 持档案证明/社保记录至社保局核算养老金；
   
4. 提交退休申请至人社局，等待审批结果。
   

如有具体材料缺失或地区政策差异，可进一步向我说明情况，我将结合当地法规提供针对性方案。