结论：公安部门收缴非法持有的气枪一个月，并不意味着可以不用处罚了。是否处罚取决于多种因素，包括气枪的性质、持有者的主观意图、是否构成犯罪等。
一、非法持有气枪的法律性质
根据《中华人民共和国枪支管理法》及相关规定，非法持有枪支（包括气枪，如果其威力达到枪支标准）是违法行为。这种行为可能构成非法持有枪支罪，具体取决于气枪的威力、数量以及持有者的主观意图等因素。
二、收缴气枪后的处理流程
- 调查取证：公安部门在收缴气枪后，会进行调查取证工作，以确定气枪的性质、来源以及持有者的主观意图等。
- 评估是否构成犯罪：根据调查结果，公安部门会评估持有者的行为是否构成犯罪。如果构成犯罪，将依法进行刑事立案侦查。
- 处罚决定：如果持有者的行为不构成犯罪，但违反了枪支管理规定，公安部门可能会根据《中华人民共和国治安管理处罚法》等相关规定，对持有者进行行政处罚，如罚款、拘留等。如果构成犯罪，则将依法追究刑事责任。
三、收缴一个月后是否处罚的情况分析
- 如果构成犯罪：即使气枪已经被收缴一个月，如果持有者的行为构成犯罪，公安部门仍然会依法进行刑事立案侦查，并可能将案件移送检察机关审查起诉。因此，不能简单地认为收缴一个月后就可以不用处罚了。
- 如果不构成犯罪但违反规定：如果持有者的行为不构成犯罪，但违反了枪支管理规定，公安部门可能会根据具体情况决定是否进行行政处罚。这取决于多种因素，如持有者的态度、是否配合调查、是否有前科等。
- 特殊情况：在某些特殊情况下，如持有者主动上交气枪、配合调查且情节轻微等，公安部门可能会酌情减轻或免除处罚。但这并不意味着所有收缴气枪的情况都可以免除处罚。
四、建议
- 主动配合调查：如果您的气枪被公安部门收缴，建议您主动配合调查工作，如实说明情况，以便公安部门能够准确评估您的行为性质。
- 咨询专业律师：由于非法持有气枪的法律后果可能比较严重，建议您在处理此类问题时咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况提供法律建议和帮助。
如果您有关于非法持有气枪或其他经济纠纷、刑事辩护方面的法律问题，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。