结论：发生工伤后，公司请假是否需要医院每个月开假条，需根据具体情况及单位要求来判断。在停工留薪期内，一般无需每月开具假条；停工留薪期结束后，若仍需继续治疗休息，则需根据医疗机构开具的假条来请假。以下是对此问题的详细分析：
一、停工留薪期内无需每月开假条
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》第三十三条，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。这意味着，在停工留薪期内，工伤职工无需提供假条作为工资支付的依据。
停工留薪期的具体规定：
- 停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
- 在此期间，工伤职工如需继续治疗，则继续享受工伤医疗待遇。对于生活不能自理的工伤职工，单位还需负责其护理。
实际操作建议：
- 工伤职工应安心接受治疗，单位应按照原工资福利待遇按月支付工资，无需职工额外提供假条。
- 工伤职工应保留好所有相关的医疗凭证，以备不时之需。
二、停工留薪期结束后需视情况开假条
仍需继续治疗休息：
- 如果停工留薪期已满，但工伤职工的伤情尚未完全恢复，还需要继续治疗和休息，此时应凭借医疗机构开具的假条向单位请假。假条是职工向单位说明自身身体状况仍不适合上班的有效凭证。
已康复可正常工作：
- 若工伤职工在停工留薪期满后，经复查确认身体已康复，能够正常返回工作岗位，则应按单位要求按时上班，无需再开假条。
三、单位内部管理需求与特殊情况
单位内部管理需求：
- 尽管从法律角度讲，工伤职工在停工留薪期内不一定需要开具假条，但有些单位出于内部管理流程的需要，可能会要求工伤职工提交请假条。在此情况下，职工应配合单位的要求，并准确填写请假条内容。
特殊情况下的口头说明与后续补办：
- 在紧急情况下，如工伤职工无法及时取得正规医疗凭证，应先通过口头或其他合适方式向单位说明情况，并在后续及时补办相关证明材料。
四、工伤与病假的区别
- 工伤假与病假在法律性质、待遇及请假手续上存在明显区别。病假是职工患病或者非因工负伤治疗期间享受的待遇，病假工资或疾病救济费可以低于当地最低工资标准，但不低于最低工资标准的80%。而工伤假则是基于工伤认定，员工在工伤病假期间原工资福利待遇不变，且无需提供病假条（停工留薪期内）。
五、建议与注意事项
了解单位请假管理制度：
- 工伤职工应首先了解并遵循单位的具体请假管理制度，确保自己的请假行为符合单位要求。
保留好医疗凭证和请假记录：
- 在整个过程中，工伤职工应保留好所有相关的医疗凭证和请假记录，以备不时之需。这些凭证和记录是维护自身权益的重要依据。
及时沟通与协商：
- 如遇单位对请假要求有异议或存在争议，工伤职工应及时与单位进行沟通与协商，寻求合理的解决方案。
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