结论：根据您描述的情况，您的家庭是有可能申请法律援助的，但具体能否成功申请，还需根据当地法律援助机构的具体要求和审核结果来确定。
分析说明：
法律援助的基本条件：
- 法律援助通常针对经济困难或特殊案件的当事人提供。经济困难的标准一般由省级人民政府根据本行政区域经济发展状况和法律援助事业的需要规定，并报国务院司法行政部门备案。
- 特殊案件可能包括涉及未成年人、老年人、残疾人等弱势群体的案件，或者涉及重大社会公共利益的案件等。
您家庭的具体情况：
- 父亲犯罪：虽然父亲犯罪，但这并不直接影响家庭其他成员申请法律援助的资格。法律援助的申请是基于个人的经济状况和案件性质，而非家庭成员的犯罪记录。
- 父母都有重大疾病：这可能构成经济困难的一个因素，因为重大疾病的治疗往往需要大量的医疗费用，可能导致家庭经济负担加重。
- 有两个儿子：儿子的存在本身并不直接影响法律援助的申请，但如果儿子们能够提供经济支持，可能会影响家庭经济困难的认定。然而，如果儿子们自身经济能力有限，或者无法提供足够的支持，那么家庭仍然可能符合经济困难的标准。
申请法律援助的具体流程：
- 准备材料：通常需要准备身份证明、经济困难证明（如低保证明、医疗费用单据等）、案件相关材料等。
- 提交申请：向当地法律援助机构提交申请，并填写相关表格。
- 审核与决定：法律援助机构会对申请进行审核，根据申请人的经济状况和案件性质决定是否提供法律援助。
建议与行动：
- 咨询当地法律援助机构：由于法律援助的具体条件和流程可能因地区而异，建议您直接咨询当地法律援助机构，了解具体的申请要求和流程。
- 准备相关材料：根据法律援助机构的要求，准备身份证明、经济困难证明、案件相关材料等，以便顺利提交申请。
- 关注申请结果：提交申请后，及时关注法律援助机构的审核结果，并根据结果采取相应的行动。
特殊场景：
- 如果您的家庭经济状况确实非常困难，且父亲犯罪案件涉及复杂法律问题或需要专业辩护，那么申请法律援助将是一个明智的选择。法律援助机构会指派专业律师为父亲提供法律帮助，确保他的合法权益得到保障。
后续思考：
- 在申请法律援助的过程中，您可能需要提供详细的家庭经济状况证明和案件相关材料。因此，建议您提前准备好这些材料，并确保它们的真实性和完整性。
- 如果法律援助申请未获批准，您还可以考虑寻求其他途径的法律帮助，如咨询专业律师或寻求社会组织的支持。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。