结论：第31天移交检察院是否合法，需结合案件所处的具体阶段及法律规定来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、刑事拘留后移交检察院审查逮捕的合法性
在刑事拘留阶段，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。因此，如果案件属于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，且公安机关在拘留后的第30日提请检察院审查批准逮捕，那么第31天移交检察院（实际为提请审查批准逮捕的后续流程，可能包括检察院的受理、审查等）在程序上是合法的，但需注意，这里的“移交”更多是指提请审查批准逮捕的后续流程，而非直接决定逮捕或起诉。
二、逮捕后移交检察院审查起诉的合法性
若嫌疑人已被逮捕，根据《刑事诉讼法》的规定，公安机关对被逮捕的人，必须在逮捕后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当逮捕的时候，必须立即释放，发给释放证明。同时，公安机关对已经逮捕的犯罪嫌疑人，经过侦查，认为犯罪事实清楚，证据确实、充分的，应当写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。这一阶段并没有严格的时间限制说必须在逮捕后的多少天内移送检察院审查起诉，但通常会在侦查终结后尽快移送。因此，如果第31天是在逮捕后，且公安机关已经完成了侦查工作，认为案件已经达到起诉条件，那么此时移交检察院审查起诉也是合法的。
三、特殊情况下的合法性考量
补充侦查：在审查起诉阶段，如果检察院认为案件事实不清、证据不足，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。补充侦查以二次为限，每次不超过一个月。如果案件在审查起诉阶段被退回补充侦查，那么从补充侦查完毕并重新移送检察院之日起计算审查起诉期限，此时第31天移交（实际为重新移送）检察院也是合法的。
案件复杂程度：对于特别复杂的案件，如涉及多个犯罪嫌疑人、多个罪名或跨地区作案等，侦查和审查起诉的时间可能会相应延长。在这种情况下，第31天移交检察院也可能是合法的，只要符合相关法律程序和规定。
四、建议与注意事项
了解案件阶段：首先需要明确案件目前所处的阶段（如刑事拘留、逮捕、审查起诉等），以便更准确地判断移交检察院的合法性。
关注法律程序：无论是公安机关还是检察院，在办理案件时都必须严格遵守法律程序。如果认为案件处理过程中存在程序违法的情况，可以及时向相关部门反映或寻求法律援助。
咨询专业律师：如果对于案件的具体情况或法律程序有疑问，建议直接咨询专业律师。律师可以根据案件的具体情况和相关法律法规，为你提供更详细、更准确的法律意见和建议。
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