结论：汇票在到期日提示付款被拒后，若未在法定期限内行使追索权，确实可能会失权。具体来说，持票人若未在规定期限内发出追索通知或提起诉讼，将丧失对前手的追索权，但通常仍可向出票人、承兑人等直接责任方主张权利。

法律背景与详细分析：

1. 追索权的行使期限：

   • 根据《中华人民共和国票据法》的相关规定，汇票到期被拒绝付款的，持票人可以对背书人、出票人以及汇票的其他债务人行使追索权。然而，这种权利的行使并非无期限限制。
   • 持票人应当自收到被拒绝承兑或者被拒绝付款的有关证明之日起三日内，将被拒绝事由书面通知其前手；其前手应当自收到通知之日起三日内书面通知其再前手。持票人也可以同时向各汇票债务人发出书面通知。未按照前款规定期限通知的，持票人仍可以行使追索权，但因延期通知给其前手或者出票人造成损失的，由没有按照规定期限通知的汇票当事人，承担对该损失的赔偿责任，但是所赔偿的金额以汇票金额为限。
   • 在追索权行使的诉讼时效方面，持票人对前手的追索权，自被拒绝承兑或者被拒绝付款之日起六个月内不行使而消灭；持票人对出票人和承兑人的权利，自票据到期日起二年内不行使而消灭。

2. 失权的法律后果：

   • 若持票人未在上述法定期限内行使追索权，将丧失对前手的追索权利。这意味着，持票人将无法再通过法律途径要求其前手（如背书人）承担票据责任。
   • 但值得注意的是，持票人通常仍可向出票人、承兑人等直接责任方主张权利，因为对这些方的权利时效通常较长（如自票据到期日起二年）。

3. 实际操作建议：

   • 持票人在汇票到期日提示付款被拒后，应立即收集相关证据（如拒绝证明、退票理由书等），并在法定期限内发出追索通知或提起诉讼。
   • 若因特殊原因无法及时行使追索权，持票人应咨询专业律师，了解是否可通过其他法律途径（如提起诉讼要求出票人或承兑人承担责任）来维护自身权益。

举例说明：

假设某持票人持有一张汇票，到期日提示付款时被银行拒绝。若该持票人未在收到拒绝证明之日起三日内通知其前手，并在六个月内未对前手提起诉讼，则该持票人将丧失对前手的追索权。但若该持票人在二年内对出票人或承兑人提起了诉讼，则仍有可能要求其承担票据责任。

总结与建议：

汇票在到期日提示付款被拒后，持票人应密切关注追索权的行使期限，并在法定期限内采取相应措施以维护自身权益。若因特殊原因无法及时行使追索权，建议咨询专业律师以了解后续法律途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。