赡养费纠纷案件移送执行的主体通常是法院，具体来说，是作出生效法律文书的法院负责将案件移送执行。以下从几个方面详细阐述：
移送执行的法律依据：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，发生法律效力的民事判决、裁定，以及刑事判决、裁定中的财产部分，由第一审人民法院或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院执行。这意味着，在赡养费纠纷案件中，一旦判决或裁定生效，负责审理该案件的法院（即第一审人民法院）就有责任将案件移送执行。
移送执行的具体流程：
- 在赡养费纠纷案件中，当判决或裁定生效后，如果义务人（即赡养义务人）未履行义务，权利人（即被赡养人或其法定代理人）可以向法院申请强制执行。
- 法院在收到执行申请后，会进行审查，确认申请符合执行条件后，会制作执行通知书，并将案件移送执行部门。
- 执行部门在接到案件后，会采取一系列执行措施，如查询、冻结、划拨被执行人的财产等，以确保赡养费的支付。
移送执行中的注意事项：
- 确保法律文书的生效性：在移送执行前，必须确认判决或裁定已经生效，且没有上诉或抗诉等情形。
- 准确确定被执行人：需要明确赡养义务人是谁，以及其财产状况，以便在执行过程中能够准确找到被执行人并执行其财产。
- 保护被执行人的合法权益：在执行过程中，应遵循法定程序，不得损害被执行人的基本生活权益。例如，在查封、扣押、冻结财产时，应保留被执行人及其所扶养家属的生活必需费用。
特殊情况下的移送执行：
- 如果被执行人不在原审法院辖区内，或者其财产不在原审法院辖区内，原审法院可以委托被执行人所在地或财产所在地的法院执行。这种情况下，移送执行就涉及到了跨地区的协作和配合。
- 在某些情况下，如果被执行人确实无履行能力，法院可能会裁定中止执行或终结执行。但这并不意味着赡养义务的消失，一旦被执行人有了履行能力，权利人仍然可以申请恢复执行。
建议：在处理赡养费纠纷案件时，如果遇到移送执行的问题或困难，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。同时，也建议权利人在申请执行前，尽可能收集被执行人的财产信息，以便在执行过程中能够更高效地找到并执行其财产。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。