关于您提出的“遗留问题能不能申请工伤认定”的问题，这主要取决于遗留问题的具体性质以及是否符合工伤认定的相关条件。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确工伤认定的基本条件。根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤认定通常需要满足“工作时间、工作场所、工作原因”这三个核心要素。也就是说，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害或患职业病，才能被认定为工伤。
对于您提到的“遗留问题”，如果它指的是过去某个时间点发生但未及时申请工伤认定的事故伤害或职业病，那么关键在于：
事故或疾病是否与工作相关：您需要证明该遗留问题是由于工作原因导致的，比如是在工作过程中发生的意外事故，或者是因为长期从事某项工作而患上的职业病。
是否在法定时限内提出申请：虽然有些遗留问题可能由于各种原因未能及时申请工伤认定，但根据《工伤保险条例》的规定，工伤认定申请通常需要在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起一定时限内（如1年内）提出。不过，也存在一些特殊情况，如因特殊原因无法及时申请，或者用人单位未按规定提出申请等，这些情况下可能有一定的宽限期或特殊规定。
是否有充分证据支持：在申请工伤认定时，您需要提供充分的证据来证明事故或疾病与工作相关，以及事故发生的具体时间、地点和经过等。这些证据可能包括医疗记录、工作记录、证人证言等。
接下来，我结合您提供的参考信息进一步说明：
从《增城区人力资源和社会保障局工伤认定送达公告》中我们可以看到，工伤认定是一个具体的行政行为，需要由相关部门根据调查结果作出决定。因此，即使存在遗留问题，只要符合工伤认定的条件，您仍然可以向相关部门提出申请。
从《人力资源社会保障部有关司局负责同志解读<关于执行<工伤保险条例>若干问题的意见(三)>》中我们可以了解到，工伤认定的具体情形和条件得到了进一步的细化和明确。例如，对于“上下班途中”的工伤认定、医疗损害侵权不影响原工伤事故的工伤认定、居家工作工伤认定等都有了更具体的规定。这些规定有助于您更好地理解和把握工伤认定的条件。
综上所述，如果遗留问题符合工伤认定的条件，您仍然可以向相关部门提出工伤认定申请。但需要注意的是，由于工伤认定涉及具体的法律程序和证据要求，建议您在申请前咨询专业的法律人士或相关部门的工作人员，以确保您的申请能够得到及时、有效的处理。