结论：综合执法对在公共用地上建的凉亭下达不予处理通知书是否犯法，不能一概而论，需要结合具体情况来判断。

分析：

1. 公共用地的性质与规划：

   • 公共用地通常指的是供公众共同使用的土地，如公园、广场、道路两侧等。这些土地的使用和管理通常受到严格的规划限制。
   • 如果凉亭的建设违反了公共用地的规划用途，比如在没有规划许可的情况下擅自建设，那么综合执法部门有权进行干预。

2. 综合执法的职责与权限：

   • 综合执法部门通常负责城市管理、市容市貌、违法建设等方面的执法工作。
   • 对于违法建设行为，综合执法部门有权进行查处，包括下达整改通知书、罚款、拆除等措施。
   • 如果综合执法部门认为凉亭的建设不构成违法或不属于其管辖范围，可能会下达不予处理通知书。但这并不意味着该行为一定合法，只是综合执法部门基于其职责和权限做出的判断。

3. 不予处理通知书的合法性：

   • 如果凉亭的建设确实违反了相关法律法规或规划要求，而综合执法部门却下达了不予处理通知书，那么该通知书可能构成行政不作为或违法。
   • 另一方面，如果凉亭的建设并未违反任何法律法规或规划要求，或者属于其他部门（如规划部门、土地管理部门）的管辖范围，那么综合执法部门下达不予处理通知书则是合法的。

4. 可能的法律后果：

   • 如果综合执法部门的不予处理通知书被认定为违法或不当，相关责任人员可能会面临行政处分或法律责任。
   • 对于凉亭的建设者来说，如果其建设行为确实违法，可能会面临罚款、拆除等法律后果。

建议：

• 如果你认为凉亭的建设是合法的，且综合执法部门的不予处理通知书存在错误或不当，你可以向相关部门（如上级综合执法部门、政府法制部门等）提出申诉或复议。
• 如果你不确定凉亭的建设是否合法，或者想了解更具体的法律后果和处理方式，建议你直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。

额外提醒：

• 在进行任何建设活动之前，务必了解并遵守相关的法律法规和规划要求，以避免不必要的法律风险和损失。
• 如果遇到综合执法部门的执法行为存在疑问或争议，建议保持冷静并寻求专业的法律帮助。