结论前置：在符合特定法定情形下，公司辞退员工确实可以不给补偿。这些情形主要包括员工存在过错、劳动合同无效以及其他法定原因。以下是对这些情形的详细解释和分析：

一、员工存在过错的情形

1. 试用期内被证明不符合录用条件

   • 解释：若员工在试用期内的实际工作表现未能达到用人单位明确规定的录用条件（如学历、技能、职业道德等），且用人单位能提供充分证据，则可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 举例：如某公司要求软件工程师熟练掌握特定编程语言，而员工在试用期内多次考核未达标，公司可据此解除劳动合同，无需补偿。

2. 严重违反用人单位的规章制度

   • 解释：员工若严重违反用人单位合法、合理且已公示或告知的规章制度（如旷工、擅自离岗、泄露机密等），对用人单位正常运营造成负面影响，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 注意：规章制度需确保合法性与合理性，并经过适当程序公示或告知员工。例如，公司规章制度中明确规定了旷工多少天属于严重违反规章制度，并已经向员工公示或告知。
   • 举例：员工张某一个月内旷工超过公司规定的3天限制，公司可依据规章制度解除劳动合同，无补偿义务。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害

   • 解释：员工在工作中因严重失职（如未履行工作职责导致事故）或营私舞弊（如利用职务之便谋取私利）给用人单位造成重大损失时，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 举例：采购人员李某收受供应商贿赂，故意采购高价低质原材料，给公司造成重大经济损失，公司可解除劳动合同，无需补偿。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响本职工作

   • 解释：员工未经用人单位同意，同时与其他单位建立劳动关系，且对本职工作造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正的，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 举例：王某在某公司担任销售经理的同时，未经同意在竞争公司兼职，导致本公司销售业务下滑，公司可解除劳动合同，无补偿义务。

5. 以欺诈、胁迫手段订立或变更劳动合同

   • 解释：员工通过欺诈（如提供虚假学历）、胁迫（如暴力威胁）或乘人之危等手段使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，该合同无效，用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 举例：赵某伪造名牌大学毕业证书与公司签订劳动合同，公司发现后可解除劳动合同，无需补偿。

6. 被依法追究刑事责任

   • 解释：员工因违法犯罪行为被人民法院依法追究刑事责任（如有期徒刑、拘役等），用人单位可解除劳动合同且不支付经济补偿。
   • 举例：员工孙某因涉嫌盗窃公司财物被判有期徒刑，公司可依据法律规定解除劳动合同，无补偿义务。

二、其他法定情形

• 劳动合同无效：若劳动合同因违反法律、行政法规的强制性规定或以欺诈、胁迫的手段订立而无效，用人单位在发现后有权解除劳动合同且不支付经济补偿。

三、公司辞退员工不给补偿的后续处理建议

若公司辞退员工且拒绝支付补偿金，员工可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 与公司协商沟通：尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行沟通，表达自己对补偿金的诉求，并尝试通过协商解决问题。

2. 收集并保留证据：包括劳动合同、工资单、银行流水、工作证、考勤记录、辞退通知书或相关邮件、短信等，以证明劳动关系的存在、工资收入情况、工作时间和工作表现以及公司辞退的事实及原因。

3. 申请劳动仲裁：在收集了充分的证据后，员工可以向当地的劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请，要求公司支付应得的补偿金。

总结：公司辞退员工是否需支付经济补偿需根据具体情况判断。在员工存在过错、劳动合同无效或其他法定情形下，公司可依法解除劳动合同且不支付经济补偿。但公司应确保其行为符合法律法规要求，避免因程序不当或证据不足而引发法律纠纷。同时，员工也应了解自己的权益和义务，在必要时采取法律措施来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。