当事人可以在特定情况下起诉终止合同的履行，但并非所有起诉都能直接导致合同终止履行。以下是对此问题的详细分析：
一、起诉与合同终止履行的关系
起诉的性质：起诉是当事人向法院提起诉讼，请求法院对争议事项进行审理和裁决的行为。它本身并不直接导致合同的中止或终止，而是启动了一个法律程序，用于解决合同争议。
合同履行的原则：根据《中华人民共和国民法典》第五百零九条，当事人应当按照约定全面履行自己的义务。除非存在法定或约定的免责事由，否则当事人应继续履行合同。因此，在起诉期间，合同通常仍应继续履行，除非存在特定情形。
二、可起诉终止合同履行的特定情形
约定解除条件成就：
- 若合同中明确约定了在某些特定情况下一方或双方有权解除合同，当这些约定的解除条件在起诉期间成就时，当事人可以依据合同约定起诉终止合同履行。
法定解除情形出现：
- 根据《民法典》的相关规定，以下情形可导致合同解除，进而终止合同履行：
- 因不可抗力致使不能实现合同目的；
- 在履行期限届满前，当事人一方明确表示或者以自己的行为表明不履行主要债务；
- 当事人一方迟延履行主要债务，经催告后在合理期限内仍未履行；
- 当事人一方迟延履行债务或者有其他违约行为致使不能实现合同目的。
行使不安抗辩权：
- 根据《民法典》第五百二十七条，应当先履行债务的当事人，有确切证据证明对方有经营状况严重恶化、转移财产、抽逃资金以逃避债务、丧失商业信誉等丧失或可能丧失履行债务能力的情形时，可以中止履行合同，并在合理期限内未恢复履行能力且未提供适当担保的情况下，起诉解除合同。
情势变更原则：
- 根据《民法典》第五百三十三条，合同成立后，合同的基础条件发生了当事人在订立合同时无法预见的、不属于商业风险的重大变化，继续履行合同对于当事人一方明显不公平的，受不利影响的当事人可以与对方重新协商；在合理期限内协商不成的，可以请求人民法院或者仲裁机构变更或者解除合同。
三、起诉终止合同履行后的处理方式
恢复原状与结算清理：
- 合同终止后，当事人应将因合同取得的财产返还给对方。原物存在的，返还原物；原物不存在的，折价补偿。同时，对于涉及费用、报酬等结算的合同，双方需进行清理结算。
赔偿损失：
- 若合同的终止是由于一方的违约行为导致的，违约方应赔偿对方因此遭受的损失。损失赔偿额应相当于因违约所造成的损失，包括合同履行后可以获得的利益，但不得超过违约一方订立合同时预见到或应当预见到的因违约可能造成的损失。
附随义务的履行：
- 合同权利义务终止后，当事人仍应遵循诚信原则，履行通知、协助、保密等附随义务。例如，商业秘密的保护、技术资料的归还等。
四、注意事项
- 起诉并非最终判决：起诉只是启动了一个法律程序，并不意味着法院会支持当事人的诉讼请求。因此，在起诉期间，当事人仍应谨慎对待合同履行问题，避免私自停止履行合同而构成违约。
- 合同终止与合同无效的区别：合同终止是合同关系在特定情况下的消灭，而合同无效则是自始无效。两者在法律后果和处理方式上存在显著差异。
- 及时咨询专业律师：在处理合同终止问题时，由于涉及复杂的法律条款和程序要求，建议当事人及时咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。
总结来说，当事人可以在约定解除条件成就、法定解除情形出现、行使不安抗辩权或适用情势变更原则等特定情况下起诉终止合同的履行。但在此过程中，应严格遵循法律规定和合同约定，确保双方的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。