结论前置：继父的赌博案底对继子在政府部门上班的影响在法律层面是有限的，但在特定情况下（如政审环节）可能产生间接影响。以下从多个角度进行详细分析：

法律层面分析

在法律上，继父与继子女之间若形成抚养教育关系，则在权利义务上与亲生父母子女关系类似。然而，就案底本身而言，我国法律并未明确规定继父的案底会直接对继子女产生法律上的不利影响。具体来说：

1. 财产继承与法定监护：继子女的合法权益在财产继承、法定监护等方面不会因为继父的案底而被剥夺或限制。
2. 法律地位与权利义务：继父的犯罪记录（包括赌博案底）通常不会影响到继子女的法律地位、基本权利或义务，包括教育、就业等普遍领域。继子女在报考公务员时，其自身的资格条件（如年龄、学历、专业等）是主要的审查内容，继父的案底并不直接构成报考障碍。

特殊情况分析：政审环节

尽管法律上没有直接影响，但在某些特殊情况下，继父的案底可能对继子女产生间接影响，尤其是在政审环节：

1. 政审要求：若继子女欲报考某些特殊岗位的公务员（如国家安全、公安等部门），在进行政审时，可能会审查家庭主要成员的政治情况和违法犯罪记录。此时，继父的赌博案底有可能成为政审环节中的一个考量因素，尽管它并非决定性因素，但确实可能增加政审不通过的风险。
2. 影响程度：政审的严格程度因岗位而异，对于一般政府部门岗位，政审可能相对宽松，继父的案底影响较小；但对于涉及国家安全、机密等敏感岗位，政审则可能更为严格，继父的案底影响可能更大。

社会与心理层面分析

除了法律层面的影响外，继父的赌博案底还可能在社会观念和心理层面给继子女带来一定影响：

1. 社会观念与偏见：在社会舆论和人际交往方面，有些人可能会对继父有案底的情况持有偏见或误解，这可能会给继子女带来一定的心理压力和社交困扰。然而，这种影响并非法律上的，而是社会层面的，继子女可以通过积极的心态和正确的应对方式来克服。
2. 心理支持：对于可能遭受心理压力的继子女，家庭和社会应提供必要的心理支持和辅导，帮助他们建立自信，克服外界偏见带来的困扰。继子女自身也应保持积极的心态，认识到继父的案底并不代表自己的品质和能力。

总结与建议

综上所述，从法律角度来看，继父的赌博案底对继子在政府部门上班的影响是有限的；但在政审环节等特定情况下，可能产生间接影响。因此，我建议继子女在报考公务员时：

1. 了解政审要求：提前了解报考岗位的政审要求和标准，评估继父案底可能带来的影响。
2. 积极准备材料：在政审环节，积极准备相关材料，如无犯罪记录证明、个人陈述等，以证明自己的品质和能力。
3. 保持积极心态：无论政审结果如何，都应保持积极的心态，认识到继父的案底并不代表自己的全部，努力提升自己的能力和素质。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。