核心结论：酒店员工垫付费用后发票开客人姓名，酒店方可通过与客人协商、留存证据等方式保障自身权益，必要时可通过法律途径解决。以下为具体分析：

从酒店与客人协商角度

1. 沟通协商解决
   • 酒店员工应第一时间与客人进行友好、诚恳的沟通。向客人说明情况，即费用原本是由酒店员工垫付，发票开客人姓名可能存在后续报销等方面的问题，希望客人能够配合酒店进行发票的更换或者出具相关的说明文件。例如，可以请客人签署一份简单的书面说明，承认该费用是由酒店员工垫付，发票虽开其姓名，但实际费用承担方为酒店，这样在后续酒店内部报销或者处理相关事务时就有了一定的依据。
2. 协商补偿方案
   • 如果客人因为发票问题已经产生了一些实际的不便或者损失，酒店可以在合理范围内与客人协商补偿方案。比如，如果客人因为发票不符合其报销要求而需要重新开具发票产生了一些额外的费用（如交通费等），酒店可以考虑承担这部分费用，以换取客人对发票问题的理解和配合。

从酒店内部管理角度

1. 完善垫付流程
   • 酒店应完善员工为客人垫付费用的流程。在员工为客人垫付费用前，应明确告知客人发票的开具要求，尽量要求发票开具酒店名称或者按照酒店规定的流程进行操作。例如，可以制定一份《员工垫付费用须知》，明确规定在何种情况下可以垫付费用、发票应如何开具等内容，并在员工培训中重点强调，避免类似情况再次发生。
2. 留存垫付证据
   • 酒店员工在垫付费用时，应留存好相关的证据，如付款凭证（刷卡记录、转账记录等）、与客人的沟通记录（聊天记录、录音等，在合法合规的前提下获取）。这些证据可以在后续与客人协商或者处理纠纷时起到关键作用，证明费用确实是由酒店员工垫付的。

从法律途径角度

1. 起诉要求返还
   • 如果与客人协商无果，酒店可以考虑通过法律途径解决。酒店可以以不当得利为由向法院提起诉讼，要求客人返还酒店员工垫付的费用。根据《中华人民共和国民法典》第九百八十五条规定，得利人没有法律根据取得不当利益的，受损失的人可以请求得利人返还取得的利益。在这种情况下，客人没有合法依据占有酒店员工垫付的费用，酒店有权要求其返还。
2. 证据的重要性
   • 在诉讼过程中，酒店需要提供充分的证据来支持自己的主张。除了前面提到的付款凭证和沟通记录外，还可以寻找其他证人，如当时在场的其他酒店员工或者客人同行人员等，来证明费用是由酒店员工垫付的。同时，要注意证据的合法性、真实性和关联性，确保证据能够被法院采纳。