公职人员用拳头打人脸部致流血，属于违法行为，需承担行政责任甚至刑事责任，同时需承担民事赔偿责任。具体处理方式如下：

1. 行政责任层面
   根据《治安管理处罚法》第四十三条，殴打他人或故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的（如未造成明显伤害、主动消除影响等），可处五日以下拘留或五百元以下罚款。
   若公职人员存在结伙殴打、多次殴打、针对特定人群（如残疾人、孕妇）等加重情节，将面临十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。
   关键点：行政处罚由公安机关作出，与公职身份无关，需平等适用法律。

2. 刑事责任层面
   若经鉴定伤情达到轻伤二级及以上，则构成《刑法》第二百三十四条规定的故意伤害罪，可处三年以下有期徒刑、拘役或管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或死刑。
   特殊情形：公职人员若存在利用职权实施的暴力行为，可能同时触犯《刑法》第二百四十七条（刑讯逼供罪、暴力取证罪）或第二百四十八条（虐待被监管人罪），需从重处罚。

3. 民事赔偿责任层面
   根据《民法典》第一千一百七十九条，侵权人需赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，需赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
   操作建议：受害人可要求公安机关在行政处罚决定书中载明赔偿事项，或直接向法院提起民事诉讼主张赔偿。

4. 公职人员特殊处理程序
   根据《公职人员政务处分法》第四十条，公职人员因故意犯罪被判处管制、拘役或有期徒刑以上刑罚（含缓刑）的，予以开除；因过失犯罪被判处有期徒刑以上刑罚（刑期超过三年）或被判处管制、拘役的，一般予以开除。
   纪律处分流程：受害人可向公职人员所在单位、纪检监察机关或上级主管部门举报，要求启动政务处分程序，处分结果将与行政/刑事处罚并行不悖。

行动建议：

1. 立即报警并要求公安机关出具《伤情鉴定委托书》，到指定机构进行法医鉴定；
   
2. 保留医疗记录、现场照片、证人联系方式等证据；
   
3. 若公职人员所在单位试图私下调解，需谨慎评估赔偿方案是否覆盖全部损失；
   
4. 可同步向当地纪委监委提交书面举报材料，要求对公职人员违纪行为立案审查。
   

法律依据：

• 《治安管理处罚法》第四十三条
  
• 《刑法》第二百三十四条、第二百四十七条、第二百四十八条
  
• 《民法典》第一千一百七十九条
  
• 《公职人员政务处分法》第四十条
  

如有进一步证据材料或具体情节需要分析，可直接向我提供细节，我将结合案情给出更精准的法律意见。