您好，关于您提出的“私人小公司实习是否算实习证明”的问题，这主要取决于实习的具体性质以及公司是否能够提供符合规定的实习证明文件。

首先，我们需要明确的是，实习证明通常是由实习单位出具的一种正式文件，用于证明实习生在该单位进行了实习活动，并可能包含实习的时间、岗位、工作内容以及实习生的表现等信息。这种证明对于实习生来说，在求职或升学时往往具有一定的参考价值。

对于私人小公司而言，虽然它们可能不像大型企业或机构那样有完善的实习管理制度和正式的实习证明模板，但这并不意味着它们不能提供实习证明。关键在于，这家私人小公司是否愿意并能够按照相关规定或惯例，为实习生出具一份正式的、包含必要信息的实习证明。

此外，从政策层面来看，无论是河南省还是湖北省的就业见习管理办法，都主要关注的是就业见习的补贴申领、见习人员范围、见习时间、补贴标准以及见习基地的管理等方面，而并没有直接规定私人小公司不能提供实习证明。实际上，这些政策更多地是在鼓励和支持各类单位（包括私人小公司）为高校毕业生和失业青年提供实习机会，并通过补贴等方式降低单位的成本。

因此，我的建议是：如果您在私人小公司进行了实习，并且希望获得实习证明，您可以主动与公司沟通，说明您的需求，并询问公司是否能够为您提供一份正式的实习证明。如果公司同意，那么这份证明就是有效的，可以在您求职或升学时作为参考。如果公司无法提供正式的实习证明，您也可以考虑让公司出具一份简单的实习经历说明，或者保留好实习期间的相关证据（如工作邮件、项目成果等），以备不时之需。

希望这个解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。