被刑事拘留后，请律师的最佳时间是在被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施（包括刑事拘留）之日起，立即聘请律师。这一结论基于以下多方面的详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条的规定，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。这意味着，从被刑事拘留的那一刻起，犯罪嫌疑人就拥有了聘请律师的权利，且律师是此时唯一合法的辩护人选择。
二、及时聘请律师的益处
提供即时法律帮助：
- 律师能够迅速会见犯罪嫌疑人，详细解释涉嫌罪名的构成要件、可能面临的刑罚，以及案件的具体情况和进展，帮助犯罪嫌疑人对自己的处境有清晰认识。
- 律师会向犯罪嫌疑人明确其在侦查阶段所享有的各项权利，如申请回避、自行辩护等，并告知其应履行的义务，确保其在后续诉讼过程中正确行使权利、避免权益受损。
申请变更强制措施：
- 律师会根据案件具体情况和犯罪嫌疑人的个人状况，为其申请取保候审，帮助犯罪嫌疑人获得相对自由的状态，以便更好地准备辩护。
- 律师还会密切关注案件进展和证据情况，为犯罪嫌疑人争取更合适的羁押措施，如监视居住等，确保其合法权益不受侵犯。
代理申诉、控告：
- 律师在会见犯罪嫌疑人时，能够敏锐地发现侦查过程中可能存在的侵权行为，如刑讯逼供、超期羁押等。
- 一旦发现侵权行为，律师会立即代理犯罪嫌疑人向有关部门提出申诉、控告，要求依法处理，维护其人格尊严和合法权益。
与侦查机关有效沟通：
- 律师通过与侦查机关的沟通，能够及时了解案件的侦查方向和已收集的证据情况，为制定辩护策略提供重要依据。
- 律师还可以根据案件情况，向侦查机关提出自己的法律意见，影响侦查决策，避免冤假错案的发生。
充分准备辩护策略：
- 律师尽早介入案件，能够有更多时间收集证据材料、分析案情，为犯罪嫌疑人制定更加全面、有效的辩护策略，提高辩护成功率。
三、实际操作建议
- 家属行动：家属在获知拘留消息的24小时内，应尽快联系并委托律师。因为根据法律规定，公安机关在拘留后的24小时内应当通知家属，此时是聘请律师的最佳时机。
- 特殊群体：如果犯罪嫌疑人经济困难或属于特殊群体（如未成年人、残疾人等），可以向当地法律援助机构申请法律援助，由国家指派律师提供免费的法律帮助。
- 持续沟通：在律师介入后，家属应与律师保持密切沟通，提供必要的案件信息和材料，以便律师能够更好地了解案情并为嫌疑人制定合适的辩护策略。
综上所述，被刑事拘留后，立即聘请律师对于保障犯罪嫌疑人的合法权益、提高辩护成功率具有重要意义。因此，建议家属在得知拘留消息后，第一时间着手安排聘请律师的事宜。如果您或您的家人遇到此类情况，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律帮助。