结论概述：在您描述的情况下，是否需要退回款项取决于多个因素，包括双方之间的合同关系、退款的原因、对方发现退款的时间以及是否存在过错等。以下我将从不同角度为您详细分析。
一、合同关系与退款义务
合同约定：
- 如果双方之间的合同中明确规定了退款的条件、程序和责任，那么应当首先遵循合同约定。如果合同中明确规定了在特定情况下需要退回款项，且您的情况符合该条件，那么您有义务退回款项。
合同解除或撤销：
- 如果合同因为某种原因（如欺诈、胁迫、重大误解等）被解除或撤销，且退款是解除或撤销合同的一部分，那么您也需要退回款项。
二、退款原因与过错
无过错退款：
- 如果退款是由于您或对方的无过错原因导致的（如系统错误、操作失误等），且双方对此均无过错，那么根据公平原则，您可能需要退回款项，尤其是如果对方因此遭受了损失。
有过错退款：
- 如果退款是由于您的过错导致的（如您错误地支付了款项），那么您显然有义务退回款项。
- 如果退款是由于对方的过错导致的（如对方提供了错误的账户信息），但您在支付时已尽到合理的注意义务，且对方在长时间后才发现退款，这并不影响您退回款项的义务，但对方可能需要承担一定的责任或损失。
三、对方发现退款的时间与影响
及时通知：
- 如果对方在退款后及时通知了您，并要求退回款项，那么您应当尽快处理并退回款项。
长时间未发现：
- 在您描述的情况下，对方过了9个月才发现退款。虽然这并不改变您退回款项的义务（如果确实存在退款义务），但对方可能因长时间未发现而遭受了一定的损失（如利息损失、资金占用成本等）。在这种情况下，双方可以协商解决，如您承担部分或全部损失作为补偿。
四、法律建议与行动指南
审查合同：
- 首先，建议您仔细审查双方之间的合同，了解合同中关于退款的规定和义务。
沟通协商：
- 其次，与对方进行沟通协商，了解对方的要求和期望，并尝试达成一个双方都能接受的解决方案。
法律途径：
- 如果双方无法协商一致，且您认为对方的要求不合理或无法律依据，您可以考虑通过法律途径解决争议。在这种情况下，建议您咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我专注于婚姻家庭、合同纠纷领域），以了解您的权利和义务，并制定合适的诉讼策略。
总结与进一步思考：在处理此类退款问题时，关键在于明确双方之间的合同关系、退款的原因和过错、对方发现退款的时间以及是否存在损失等因素。通过审查合同、沟通协商和必要时寻求法律途径，您可以更好地维护自己的权益并解决争议。如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。