结论：未成年拿奶奶手机充值玩游戏报警，一般情况下不会留下案底。但具体是否留案底，还需根据案件的具体情况、处理结果以及是否涉及刑事犯罪等因素来综合判断。

分析说明：

1. 报警与案底的关系：

   • 报警是公民向公安机关报告犯罪事实或犯罪嫌疑人的行为，是启动刑事诉讼程序的一种方式。
   • 案底，通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为被法院判决有罪后留下的记录。
   • 报警本身并不直接导致案底的产生，案底的形成需要经过法院的审判并判决有罪。

2. 未成年充值玩游戏的性质：

   • 未成年拿奶奶手机充值玩游戏，这一行为本身并不直接构成犯罪。它可能涉及的是民事纠纷，如奶奶作为手机的所有者或监护人，可能认为未成年人的充值行为未经其同意，要求游戏公司退款等。
   • 如果充值金额巨大，且存在欺诈、盗窃等犯罪行为（如未成年人冒用奶奶身份进行充值），则可能涉及刑事犯罪。但即便如此，也需要经过法院的审判并判决有罪后，才会留下案底。

3. 报警后的处理流程：

   • 报警后，公安机关会进行调查，并根据调查结果决定是否立案。
   • 如果不构成犯罪，公安机关可能会进行调解或建议通过民事途径解决纠纷。
   • 如果构成犯罪，公安机关会进行侦查，并将案件移送检察院审查起诉。最终，由法院进行审判并判决。

4. 案底的形成条件：

   • 案底的形成需要满足两个条件：一是存在犯罪行为；二是经过法院的审判并判决有罪。
   • 如果未成年人的充值行为不构成犯罪，或者虽然构成犯罪但未经法院审判或判决无罪，则不会留下案底。

特殊场景：

• 如果未成年人的充值行为确实涉及犯罪，并且经过法院审判被判决有罪，那么就会留下案底。但考虑到未成年人的特殊性，我国法律对未成年人犯罪记录有封存制度，即一般情况下不会向社会公开，也不会影响其未来的升学、就业等。

行动建议：

• 如果奶奶发现未成年人未经其同意充值玩游戏，首先可以尝试与游戏公司协商退款。
• 如果协商无果，或者充值金额巨大且存在欺诈等犯罪行为，可以向公安机关报警。
• 在报警前，建议收集好相关证据，如充值记录、游戏账号信息、未成年人的身份信息等，以便公安机关进行调查。
• 如果有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。