结论：对方的行为是否构成肇事逃逸，需结合具体情况判断，但将车开回家后才来处理，且未履行立即停车、保护现场、抢救伤者、报警等法定义务的，很可能构成肇事逃逸。

一、肇事逃逸的认定标准

根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条及《中华人民共和国道路交通安全法》第七十条，肇事逃逸的认定需满足以下条件：

1. 明知发生交通事故：驾驶人需明知自己发生了交通事故（如碰撞、刮擦等）。
2. 逃避法律追究：驾驶人未履行法定义务，包括：
   • 立即停车；
   • 保护现场；
   • 抢救受伤人员；
   • 迅速报警（拨打122或110）；
   • 如实陈述事故经过。
3. 主观故意：驾驶人需存在逃避法律责任的故意，而非因客观原因（如未察觉事故）离开现场。

二、对方行为是否构成肇事逃逸？

若对方在事故后：

1. 未立即停车：直接将车开回家，未查看伤者情况或保护现场；
2. 未报警或抢救伤者：未拨打120或122，未对伤者采取救助措施；
3. 主观上逃避责任：如明知发生事故却故意离开，或因害怕承担责任而选择逃离。

则其行为很可能构成肇事逃逸。反之，若对方因客观原因（如未察觉事故、紧急送医等）离开现场，且事后主动配合调查，则不构成逃逸。

三、肇事逃逸的法律后果

1. 行政责任：
   • 根据《道路交通安全法》第九十九条，肇事逃逸未构成犯罪的，处200-2000元罚款，可并处15日以下拘留，吊销机动车驾驶证且终生不得重新取得。
2. 刑事责任：
   • 若事故造成重伤、死亡或重大财产损失，逃逸者可能面临3-7年有期徒刑；
   • 因逃逸致人死亡的，处7年以上有期徒刑。
3. 民事赔偿：
   • 逃逸者需承担全部赔偿责任，且保险公司可能拒赔（商业险部分）。

四、你的应对建议

1. 立即报警：向交警说明对方逃逸情况，提供车牌号、车型、逃逸方向等信息。
2. 固定证据：
   • 拍摄现场照片、视频；
   • 记录目击者联系方式；
   • 保留医疗记录、费用单据等。
3. 联系保险公司：若对方逃逸，你的车损险可申请“无责赔付”（需交警出具逃逸证明）。
4. 咨询律师：若涉及人身伤害或财产损失，建议尽快联系我，评估赔偿方案及诉讼策略。

提示：肇事逃逸是严重违法行为，不仅加重法律责任，还可能丧失保险理赔资格。若对方逃逸，务必通过法律途径维护自身权益。如有进一步问题，可直接向我咨询。