结论：您在私企工作六年多未缴纳社保，现在到龄退休，可以通过法律途径要求企业补缴社保，但需注意诉讼时效、证据收集和行政程序优先等关键问题。以下从法律可行性、操作路径和注意事项三个角度展开分析：

一、法律可行性：企业有法定义务补缴，但需满足前提条件

根据《社会保险法》第58条、第60条，用人单位必须自用工之日起30日内为员工办理社保登记并缴费，未缴纳社保属于违法行为，员工有权要求补缴。但需注意：

1. 时效限制：社保补缴的行政追诉期为2年（自企业违法行为结束之日起算），但司法实践中，若员工能证明企业持续未缴（如工资条、劳动合同等证据），可能突破时效限制；
2. 劳动关系证明：需提供劳动合同、工资流水、工作证、同事证言等证据，证明您与企业存在6年劳动关系；
3. 退休不影响权利：即使已到退休年龄，只要未享受养老保险待遇，仍可主张补缴（参考《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第1条）。

二、操作路径：优先行政投诉，必要时提起劳动仲裁或诉讼

1. 第一步：向社保部门投诉
   携带身份证、劳动关系证据（如劳动合同、工资条）、企业信息等材料，向当地社保稽核部门或劳动监察大队投诉，要求责令企业补缴。这是最快捷的方式，社保部门有权直接核查企业账目并强制补缴。

2. 第二步：申请劳动仲裁（若行政投诉无果）
   若社保部门未处理或企业拒不执行，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认劳动关系并补缴社保。仲裁裁决后，企业仍不履行的，可申请法院强制执行。

3. 第三步：提起民事诉讼（特殊情况）
   若因企业未缴社保导致您无法享受养老保险待遇，可起诉要求企业赔偿损失（如退休金差额）。但需注意：此路径需证明损失具体金额，且法院可能要求先通过行政程序补缴。

三、注意事项：避免因操作不当丧失权利

1. 尽快行动：社保补缴的行政时效虽可能被突破，但尽早投诉能减少证据灭失风险；
2. 保留证据：务必保存好所有能证明劳动关系的材料，尤其是工资流水（需显示企业账户转账）；
3. 注意程序衔接：行政投诉与劳动仲裁可并行进行，但仲裁裁决后需及时申请执行；
4. 企业无力补缴的处理：若企业已注销或无力缴费，可申请社保部门将企业欠费信息纳入征信系统，或通过破产程序追偿（但个人可能承担部分损失）。

建议：立即携带劳动关系证据到当地社保稽核部门投诉，同时咨询我进一步准备仲裁材料（如需）。社保问题涉及行政程序与司法程序的衔接，专业指导能大幅提高维权效率。