合法的养子关系，即收养关系的成立，需要满足一系列严格的条件，并遵循相应的法律程序。以下是根据《中华人民共和国民法典》及相关规定，对合法养子关系所需条件的详细解答：
一、收养人应具备的条件
无子女：
- 收养人既没有亲生子女，也没有养子女和继子女。这是为了保障被收养人能够得到充分的关爱和资源。
有抚养教育被收养人的能力：
- 收养人应当具有完全民事行为能力，这意味着他们能够独立进行民事活动并承担民事责任。
- 在身体、智力、经济、道德品质和教育子女等方面，收养人应具备抚养和教育被收养人的能力。这包括提供稳定的生活环境、良好的教育条件以及必要的医疗保健等。
- 收养人应能够履行父母对子女应尽的义务，如关爱、保护、教育等。
未患有在医学上认为不应当收养子女的疾病：
- 这主要指的是精神疾病和传染病等可能对被收养人健康造成威胁的疾病。收养人需要接受县级以上医疗机构的身体健康检查，并出具未患有此类疾病的证明。
年满30周岁：
- 收养人必须年满30周岁，这是为了确保收养人具备足够的成熟度和责任感来抚养和教育被收养人。
- 如果是夫妻共同收养，则双方都必须年满30周岁。
二、收养关系的法律程序
提交申请：
- 收养人需要向县级人民政府民政部门提交收养申请书，并附上相关证件和证明材料，如居民户口簿、居民身份证、婚姻状况证明、抚养教育能力证明、身体健康检查证明等。
审查与登记：
- 收养登记机关在收到申请后，会对申请材料进行审查。审查内容包括收养人的资格、被收养人的情况以及送养人的资格等。
- 如果审查通过，收养登记机关会为当事人办理收养登记，并发给收养登记证。收养关系自登记之日起成立。
公告与认领：
- 对于收养查找不到生父母的弃婴、儿童的情况，收养登记机关会在登记前进行公告查找其生父母。自公告之日起满60日，弃婴、儿童的生父母或其他监护人未认领的，视为查找不到生父母的弃婴、儿童。
户口登记或迁移：
- 收养关系成立后，如果需要为被收养人办理户口登记或迁移手续，收养人应持收养登记证到户口登记机关按照国家有关规定办理。
三、其他注意事项
- 收养关系当事人应当亲自到收养登记机关办理成立收养关系的登记手续。夫妻共同收养子女的，应当共同到收养登记机关办理登记手续。
- 如果收养关系当事人协议解除收养关系，也需要持相关证件和证明材料到收养登记机关办理解除收养关系登记。
综上所述，合法的养子关系需要满足收养人的资格条件，并遵循严格的法律程序。这些条件和程序旨在保障被收养人的权益，确保他们能够在一个健康、稳定的环境中成长。