该情况是否构成刑事责任需分情况讨论，关键在于事故后果的严重程度及行为人的主观恶性，具体分析如下：

1. 若事故仅造成老太太轻微伤或财产损失（未达刑事立案标准）
   根据《道路交通安全法》第99条，逃逸者可能面临200-2000元罚款、15日以下拘留的行政处罚。此时不构成刑事犯罪，但需承担民事赔偿责任（如医疗费、误工费等）。

2. 若事故造成老太太重伤或死亡（达到刑事立案标准）
   根据《刑法》第133条，逃逸行为可能构成交通肇事罪，面临3-7年有期徒刑；若因逃逸导致被害人未得到及时救治而死亡，则可能面临7年以上有期徒刑。此时需结合以下要素综合判断：

   • 事故责任认定（如是否违反交通规则）；
     
   • 逃逸与伤亡结果的因果关系；
     
   • 行为人是否存在酒驾、无证驾驶等加重情节。

3. 特殊情形：逃逸后主动投案
   若行为人逃逸后主动到公安机关投案并如实供述，可能构成自首，依法可从轻或减轻处罚。但需注意，自首需同时满足自动投案和如实供述两个条件，仅报警后逃避调查不构成自首。

建议行动步骤：

1. 立即陪同老太太就医并垫付医疗费用（可降低民事赔偿争议）；
   
2. 尽快到公安机关投案，争取自首情节；
   
3. 委托律师介入，协助处理事故责任认定、刑事辩护及民事赔偿谈判。
   

温馨提示：交通肇事逃逸是加重情节，即使事故责任较小也可能面临严厉处罚。若您或家属涉及此类案件，可直接向我咨询具体应对方案。