在以下情况下，当事人或利害关系人可以申请听证，具体分为行政处罚、行政许可和其他法定情形：

1. 行政处罚领域
   根据《行政处罚法》第六十三条，行政机关拟作出较大数额罚款、没收较大数额违法所得或非法财物、降低资质等级、吊销许可证件、责令停产停业、责令关闭、限制从业等较重行政处罚时，当事人有权要求听证。此外，若行政机关认为案件涉及公共利益重大影响，也可主动组织听证。
   例如：企业因环境污染被拟罚款50万元（超过当地规定的“较大数额”标准），可在收到告知书后5日内申请听证。

2. 行政许可领域
   依据《行政许可法》第四十六条，法律、法规、规章规定实施行政许可应当听证的，或行政机关认为需要听证的涉及公共利益的重大行政许可事项（如城市规划、公共资源分配等），行政机关应向社会公告并举行听证。
   第四十七条还规定，直接涉及申请人与他人之间重大利益关系的行政许可（如建设项目影响周边居民环境权益），行政机关在作出决定前应告知申请人、利害关系人有权申请听证。
   例如：小区居民对拟建的垃圾处理站许可有异议，可在被告知后5日内申请听证。

3. 其他法定情形
   部分单行法律对特定领域听证作出规定，例如：

   • 政府定价行为（《价格法》第二十三条）：制定关系群众切身利益的公用事业价格、公益性服务价格时，政府应组织听证；
     
   • 土地征收补偿（《土地管理法》第四十七条）：征收土地前，县级以上政府应公告补偿方案并听取被征地农民意见，必要时可组织听证；
     
   • 立法或规范性文件制定：部分地方性法规规定，重大行政决策或规范性文件出台前需听证。
     

申请听证的注意事项：

• 时限：通常需在被告知听证权利后5日内提出申请；
  
• 形式：一般需书面提交申请，说明理由；
  
• 后果：逾期未申请视为放弃，行政机关可径行作出决定。
  

若您具体涉及某类听证申请（如环保处罚、拆迁补偿等），可进一步说明情况，我将结合实务经验为您分析操作要点。