通知犯罪嫌疑人逃跑这一行为本身并不直接构成一个独立的罪名，但犯罪嫌疑人逃跑的行为在不同情境下会产生不同的法律后果。以下是对此问题的详细分析：

1. 被采取强制措施后逃跑可能构成脱逃罪

   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十六条的规定，依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人如果脱逃，将处五年以下有期徒刑或者拘役。这里的“关押”涵盖了已被依法采取的拘传、取保候审、监视居住、拘留、逮捕等刑事强制措施。因此，若犯罪嫌疑人在这些强制措施执行期间逃跑，即构成脱逃罪，将面临法律的严惩。脱逃行为不仅限于使用暴力，非暴力方式逃跑同样构成此罪。

2. 在侦查、审判阶段逃避侦查和审判的影响

   • 在司法机关立案侦查或在人民法院受理案件以后，如果犯罪嫌疑人逃避侦查或审判，虽然这种行为不构成新的罪名，但会对案件的处理产生重要影响。依据《刑法》第八十八条的规定，此时犯罪嫌疑人的逃避行为将使其不受追诉期限的限制。这意味着，无论过了多长时间，一旦被抓获，司法机关依然有权追究其原来犯罪行为的刑事责任。

3. 逃跑行为对量刑的影响

   • 逃跑行为不仅可能构成脱逃罪，还会在后续的量刑过程中产生不利影响。逃跑本身体现了犯罪嫌疑人主观恶性较大、人身危险性较高以及对司法秩序的破坏。因此，在司法实践中，法院会将逃跑这一情节作为酌定从重处罚的情节予以考虑，即在法定的量刑幅度范围内给予更重的刑罚。这既体现了法律对犯罪嫌疑人行为的严格约束，也维护了司法秩序的稳定和权威。

法律建议：

• 对于犯罪嫌疑人而言，应遵守法律程序，积极配合司法机关的调查和审判工作，避免逃跑等违法行为，以免面临更严重的法律后果。
• 如果犯罪嫌疑人已经逃跑，应尽快自首，争取从宽处理。自首是法律规定的从轻或减轻处罚的情节之一，有助于犯罪嫌疑人获得更轻的刑罚。

可能产生的法律后果：

• 如果犯罪嫌疑人逃跑并构成脱逃罪，将面临五年以下有期徒刑或者拘役的刑罚。
• 逃跑行为还会影响后续对原犯罪行为的量刑，可能导致更重的刑罚。
• 逃跑期间，犯罪嫌疑人可能面临更严格的追捕和监控措施，生活将受到极大限制。

综上所述，通知犯罪嫌疑人逃跑并不直接构成犯罪，但逃跑行为本身可能构成脱逃罪，并对后续的量刑产生不利影响。因此，建议犯罪嫌疑人遵守法律程序，积极配合司法机关的工作。如有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。