当您发现别人停在了您购买的车位上时，可以按照以下步骤来合理、合法地处理这一问题：
一、确认车位权属与初步沟通
确认车位权属：
- 首先，请确保您对该车位拥有合法的购买或租赁权益，这通常可以通过查看车位购买合同、租赁协议或其他相关证明文件来确认。
现场查找联系方式：
- 检查占用车辆的挡风玻璃上是否有车主留下的联系方式，如电话号码或挪车卡。
- 若有，直接联系车主，礼貌地请求其挪车。
联系物业或管理部门：
- 若无法直接联系到车主，或车上没有联系方式，立即联系小区物业或停车场管理部门。
- 他们通常会有业主的车辆登记信息，能够协助您快速联系到车主并协调其将车开走。
二、保留证据与进一步沟通
拍摄证据：
- 在等待车主或物业响应的同时，拍摄占用车辆的全貌、车牌号、车辆停放的具体位置以及车位的相关标识（如车位编号）等照片。
- 条件允许的情况下，也可以进行录像，记录整个发现车位被占的过程。
现场留条告知：
- 若无法立即联系到车主，且您需要离开现场，可以写一张礼貌的纸条，明确告知对方占用了您的车位，并留下您的联系方式以便其与您取得联系。
- 将纸条夹在对方车辆的雨刮器下或放置在显眼位置，以避免引起冲突。
三、寻求物业或执法部门帮助
要求物业处理：
- 根据您与物业公司签订的物业服务合同，若合同中规定物业对车位秩序负有管理责任，则您有权要求物业采取措施解决车位被占问题。
- 如物业未能及时履行职责，您可以向业主委员会反映情况，由业委会督促物业采取行动。
联系交警或违停管理部门：
- 若对方长时间未挪车，且您急需使用车位，可以拨打122报警电话或当地违停举报电话，向交警或违停管理部门说明情况并提供相关证据。
- 他们会根据具体情况采取相应措施，如联系车主要求挪车，或在车主拒不配合时将车辆拖移。
四、法律途径维权
发送告知函：
- 若对方经常占用您的车位且沟通无效，您可以考虑委托律师向对方发送律师函，明确指出对方的侵权行为，要求其停止占用，并告知其可能面临的法律后果。
提起诉讼：
- 如果上述方法均无法解决问题，且您的合法权益确实受到了侵害，您有权向法院提起诉讼，要求对方赔偿因占用您车位而造成的损失（如额外的停车费用、时间成本等）。
- 在诉讼过程中，之前保留的证据将起到至关重要的作用。
聘请拖车机构（需法院许可）：
- 在获得法院许可的前提下，若对方仍然拒绝移走车辆，您可以聘请专业拖车机构将占位车辆拖至指定地点。
- 相关拖车费用则由占位方承担。
五、保持冷静与理智
在整个处理过程中，务必保持冷静和理智，避免采取过激行为或言语攻击。和平、理性的沟通方式往往能更有效地解决问题，并减少不必要的法律风险。
综上所述，面对他人占用您私家车位的情况，您应首先确认车位权属并尝试通过平和沟通、物业协助来解决问题；若无法解决，则需保留好相关证据，并通过法律途径来维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。