结论前置：当欠款人不还利息时，债权人有权根据相关法律法规向法院提起诉讼，要求欠款人支付应付的利息。但具体能否起诉成功及利息的计算方式，需根据借款合同中的约定、相关法律法规以及实际情况来确定。
一、法律依据与起诉条件
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，借款人应当按照约定的期限支付利息。若借款合同中明确了利息的计算方式及支付时间，而欠款人未履行支付义务，则债权人有权要求欠款人支付利息。
- 同时，《中华人民共和国民事诉讼法》也为债权人提供了法律救济途径，允许债权人因财产关系提起的民事诉讼向法院寻求帮助。
起诉条件：
- 债权人作为原告，需与案件有直接利害关系。
- 必须有明确的被告，即欠款人的详细信息。
- 需有具体的诉讼请求，即要求欠款人支付的利息金额及计算方式。
- 需有事实和理由，即借款经过、利息约定及欠款人违约情况等。
- 案件应属于法院受理范围，并由正确法院管辖。
二、利息约定的明确性与合法性
利息约定的明确性：
- 借款合同中应明确约定利息的计算方式及支付时间。若合同对利息约定不明确或未约定，则可能视为无息借款，除非是非自然人间的借贷且能依据交易习惯等因素确定利息。
利息的合法性：
- 借款利率不得违反国家规定，逾期利率亦需遵循法定上限，即不超过合同成立时一年期贷款市场报价利率四倍。若约定的利率超过此上限，则超出部分可能不受法律保护。
三、诉讼流程与注意事项
诉讼流程：
- 债权人需向法院递交起诉书，并附上相关证据材料，如借款合同、转账记录、通讯记录等。
- 法院审查起诉书后决定是否受理，符合条件者将立案并通知双方。
- 庭审中，双方陈述观点并提交证据。法院最终依据事实和法律作出判决，可能要求欠款人支付逾期利息。
注意事项：
- 利息约定的明确性：在签订借款合同时，应确保利息及其计算方式被明确约定，以避免后续争议。
- 诉讼时效：债权人需在知道权利受损之日起三年内提起诉讼，否则可能面临诉讼时效过期的风险，导致胜诉权丧失。
- 证据收集：在起诉前，债权人应全面收集相关证据，确保诉讼主张有充分的事实依据。
四、不同情况下的利息主张
合同有约定利息：
- 若借款合同中明确约定了利息的计算方式及支付时间，且该约定合法有效，则债权人在起诉时可以直接要求欠款人按照合同约定支付利息。
合同未约定利息：
- 若借款合同中未约定利息或约定不明确，则债权人可能难以直接要求欠款人支付利息。但在此情况下，若欠款人逾期付款，债权人仍可依据相关法律规定主张逾期付款损失，该损失通常以中国人民银行同期同类人民币贷款基准利率或全国银行间同业拆借中心公布的一年期贷款市场报价利率（LPR）为基础进行计算。
举例说明：假设甲向乙借款10万元，约定年利率为10%，借款期限为一年。若借款到期后，甲未按时支付利息及本金，则乙有权向法院提起诉讼，要求甲支付借款本金10万元及按照年利率10%计算的利息。若合同未约定利息或约定不明确，但甲逾期付款，则乙可主张逾期付款损失，该损失可能以LPR为基础进行计算。
综上所述，当欠款人不还利息时，债权人有权根据相关法律法规向法院提起诉讼。但具体能否起诉成功及利息的计算方式需根据借款合同中的约定、相关法律法规以及实际情况来确定。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。