公司未履行公示义务，将面临一系列严重的法律后果及相应的处理措施，具体如下：

1. 被列入经营异常名录：

   • 情形：根据《企业信息公示暂行条例》的规定，若公司未在规定期限内公示年度报告或相关信息，县级以上市场监督管理部门（原工商行政管理部门）将把其列入经营异常名录，并通过企业信用信息公示系统向社会公示。
   • 影响：被列入经营异常名录的公司，在政府采购、工程招投标、国有土地出让、授予荣誉称号等方面将受到限制或禁入。同时，公司的信用评级也会受损，进而影响融资、贷款以及合作伙伴关系。
   • 移出条件：公司在规定期限内（一般为3年内）履行公示义务的，可以向市场监督管理部门申请移出经营异常名录。

2. 行政处罚：

   • 一般罚款：公司未按规定公示信息的，由县级以上市场监督管理部门责令限期改正，并可处以1万元以下的罚款。
   • 严重罚款：若公司公示信息隐瞒真实情况、弄虚作假，情节严重的，罚款金额将提升至1万元以上3万元以下。此外，根据新修订的《中华人民共和国公司法》，对于未履行公示义务的公司，还可能面临更高额度的罚款，最高可达二十万元，并对直接负责的主管人员和其他直接责任人员也有相应的罚款。

3. 承担赔偿责任：

   • 若公司的未公示行为导致他人损失，如因未公示重要合同信息导致合作伙伴遭受经济损失，公司还需依法承担赔偿责任。

4. 追究刑事责任：

   • 对于构成犯罪的行为，如欺诈、虚假陈述等，公司将依法被追究刑事责任。这通常涉及更严重的违法行为，如伪造公文、印章等。

5. 长期后果：

   • 公司被列入经营异常名录满3年仍未履行公示义务的，将被列入严重违法企业名单，并通过企业信用信息公示系统向社会公示。此时，公司的法定代表人、负责人3年内不得担任其他企业的法定代表人、负责人。
   • 情节特别严重时，公司可能会被依法吊销营业执照，导致公司无法继续运营。

建议与指导：

为避免上述法律风险，公司应严格遵守相关法律法规，及时、准确地公示营业执照及相关信息。具体建议如下：

• 建立健全内部管理制度：确保信息公示的及时性和准确性，避免因疏忽或故意隐瞒而导致法律后果。
• 定期自查与整改：公司应定期对公示信息进行自查，确保信息的真实性和完整性。一旦发现公示信息有误或遗漏，应立即进行整改。
• 及时申请移出经营异常名录：若公司已被列入经营异常名录，应尽快履行公示义务并申请移出，以恢复公司的正常经营状态。

若公司在公示义务方面遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询。我将根据公司的具体情况，提供专业的法律建议和解决方案。