在以下情况下，交警可以不出具事故认定责任书：

1. 适用简易程序处理且当场调解达成协议：

   • 对于仅造成人员轻微伤或特定情形的财产损失事故（如机动车与机动车、机动车与非机动车发生财产损失事故且当事人对事实及成因无争议，或者非机动车与非机动车、行人发生财产损失事故且基本事实及成因清楚），交警可以适用简易程序处理。
   • 在这种情况下，如果当事人共同请求调解，并且达成调解协议且当场履行完毕，交警可能不再专门出具书面的交通事故认定书。这是因为双方已经通过协商解决了争议，无需再通过认定书来划分责任。

2. 未造成人员伤亡的轻微事故且当事人无争议：

   • 如果交通事故未造成人员伤亡，仅造成轻微财产损失，且当事人对事实及成因无争议，交警可能会在现场快速处理，并告知当事人自行协商解决，此时也无需开具认定书。

3. 当事人自行撤离现场且无争议：

   • 当当事人自行撤离现场，并且事后对事故事实及成因无争议时，交警通常也不会再开具认定书。

4. 逃逸事故尚未侦破：

   • 在逃逸事故尚未侦破的特殊情况下，如果受害一方当事人要求出具道路交通事故认定书，交警部门会在接到报案后一定时间内（如10日内，具体根据当地规定）制作道路交通事故认定书，并送达受害一方当事人。但在逃逸事故尚未侦破期间，可能暂时不出具完整的认定书，而是先出具相关证明。

5. 事故责任无法明确划分：

   • 对于复杂的交通事故，如果事故责任无法明确划分，特别是在多方事故或事故现场证据不足的情况下，交警可能需要进一步调查，包括收集更多证据、询问证人等，以便能够准确划分事故责任。在此期间，可能暂时不制作事故认定书。

6. 非交通事故或无法证明是交通事故：

   • 如果发生的事件并不构成交通事故，或者无法证明是交通事故，交警将不会开具事故认定书，因为事故认定书是基于交通事故的事实和责任划分而开具的。

7. 无法查清事故基本事实：

   • 根据《道路交通事故处理程序规定》，如果道路交通事故成因确实无法查清，公安机关交通管理部门可以不出具交通事故认定书，而是出具道路交通事故证明，载明道路交通事故发生的时间、地点、当事人情况及调查得到的事实。

法律建议：

• 尽管存在上述特殊情况，但作为当事人，在发生交通事故后，还是应当尽量按照程序要求，让交警部门出具正式的交通事故认定书。因为认定书是后续处理事故、维护自身权益的重要依据。
• 如果没有认定书，可能会给后续处理带来不必要的麻烦和纠纷，特别是在涉及保险理赔、法律诉讼等方面。
• 如果对交警的处理方式有疑问或不满，可以及时向交警部门提出，或者寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。

法律依据：

• 《中华人民共和国道路交通安全法》第七十三条：公安机关交通管理部门应当根据交通事故现场勘验、检查、调查情况和有关的检验、鉴定结论，及时制作交通事故认定书，作为处理交通事故的证据。
• 《道路交通事故处理程序规定》（具体条款根据最新修订版本）：详细规定了交通事故处理的程序和要求，包括简易程序的适用、事故认定的条件以及无法查清事实时的处理方式等。