医院警卫打人属于违法行为，应当根据具体情况承担相应的法律责任，具体处理方式如下：
民事责任：
- 赔偿损失：警卫打人造成他人人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾或死亡，还应赔偿残疾生活辅助具费、残疾赔偿金或死亡赔偿金等。
- 赔礼道歉：如果打人行为对受害人的名誉、人格等造成了损害，警卫或其所在单位还应当承担赔礼道歉等民事责任。
行政责任：
- 行政处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。如果警卫的打人行为构成该法规定的情形，将受到相应的行政处罚。
- 单位处分：医院作为警卫的用人单位，如果警卫在执行职务过程中打人，医院也可能因管理不善而承担一定的责任，并对警卫进行内部处分，如警告、记过、解雇等。
刑事责任：
- 故意伤害罪：如果警卫的打人行为造成受害人轻伤以上后果，构成故意伤害罪的，将依法追究其刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
- 其他罪名：如果警卫的打人行为还涉及其他犯罪情形，如寻衅滋事罪、聚众斗殴罪等，也将根据具体情况依法追究其刑事责任。
在处理此类事件时，建议采取以下步骤：
- 及时报警：受害人或目击者应立即向公安机关报案，以便公安机关及时介入调查。
- 保留证据：受害人应尽可能保留与打人事件相关的证据，如医疗记录、现场照片、视频资料、证人证言等，以便在后续的法律程序中证明自己的主张。
- 寻求法律帮助：受害人可以寻求律师的帮助，了解自己的权利和义务，以及如何维护自己的合法权益。律师可以协助受害人收集证据、起草法律文书、参与调解或诉讼等。
如果医院或警卫方拒绝承担责任或处理不当，受害人还可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起民事诉讼或刑事自诉等。在整个处理过程中，保持冷静和理性，依法维权是关键。