结论：在以下情况下，付给商家的定金可以不退：

1. 给付定金方自身原因违约

   • 法律解释：根据《中华人民共和国民法典》第五百八十七条，给付定金的一方如果不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，无权请求返还定金。这意味着，如果是因为你自身的原因，比如不想继续购买商品或服务，或者无法按照合同约定履行义务，那么你支付的定金商家是有权不退的。
   • 具体情形：例如，你预定了一款商品并支付了定金，但后来因为个人喜好变化或资金问题不想购买了，此时商家可以依据法律规定不退还定金。

2. 合同中有明确约定且符合法律规定

   • 法律解释：如果双方在合同中明确约定了定金不退的情形，并且这种约定不违反法律法规的强制性规定，那么该约定是有效的。在这种情况下，如果满足了合同中约定的定金不退的条件，商家可以依据合同约定不退还定金。
   • 具体情形：例如，合同中可能约定“若买方在交付定金后XX日内未支付余款，则定金不予退还”。如果你未在规定时间内支付余款，商家就有权依据合同约定不退还定金。

3. 商家已按照合同约定履行了义务

   • 法律解释：如果商家已经按照合同约定履行了其义务，比如已经为你预留了商品或提供了服务，而你因为自身原因未能继续履行合同，那么商家有权不退还定金作为对其损失的补偿。
   • 具体情形：例如，你预定了一家酒店的房间并支付了定金，酒店也为你预留了房间。但当你到达酒店时，却因为个人原因决定不住宿了，此时酒店可以依据法律规定和合同约定不退还定金。

法律建议与风险提示：

• 签订详细合同：在支付定金前，务必与商家签订详细的书面合同，明确约定定金的性质、金额、交付方式、违约责任等关键条款。这有助于减少后续纠纷的发生。
• 保留相关证据：在支付定金和履行合同过程中，务必保留好相关证据，如支付凭证、合同文本、沟通记录等。这些证据在后续纠纷解决中可能起到关键作用。
• 谨慎支付定金：在支付定金前，务必仔细考虑自己的需求和支付能力，避免因为一时冲动或疏忽而支付不必要的定金。

后续行动建议：

• 如果你已经支付了定金但商家拒绝退还，且你认为商家存在违约行为或合同约定不明确等情况，你可以考虑通过法律途径解决纠纷。
• 在处理定金纠纷时，建议咨询专业律师（即我，冯浩律师，专注于经济纠纷、合同纠纷领域）以获取更详细的法律分析和指导，确保你的权益得到充分保障。