结论：孩子跟随没有抚养权的一方出了意外事故，没有抚养权的一方是否承担法律责任，不能一概而论，需要分情况讨论。
分析如下：
无抚养权方无过错的情况：
- 如果孩子跟随没有抚养权的一方时，该方已经尽到了合理的监护和照顾义务，且意外事故的发生是由于不可抗力、孩子自身行为或其他第三方原因导致的，那么没有抚养权的一方通常不需要承担法律责任。
- 例子：比如，孩子在没有抚养权的一方陪同下在公园玩耍，突然被一只失控的狗撞倒受伤。这种情况下，没有抚养权的一方如果已经尽到了看护责任，那么他们通常不需要为孩子的受伤承担法律责任。
无抚养权方存在过错的情况：
- 如果孩子跟随没有抚养权的一方时，该方未尽到合理的监护和照顾义务，导致孩子发生意外事故，那么没有抚养权的一方可能需要承担相应的法律责任。这种责任可能是民事赔偿责任，甚至在某些情况下可能构成刑事责任（如过失致人重伤或死亡）。
- 民事赔偿责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。虽然这条法律主要规定的是孩子造成他人损害时监护人的责任，但同理可推，如果监护人未尽到监护职责导致孩子受损，也应承担相应的赔偿责任。
- 刑事责任：如果无抚养权方的过失行为严重到构成犯罪，如过失致人重伤或死亡，那么他们可能需要承担刑事责任。这需要根据具体案件情况和相关法律规定来判断。
- 例子：比如，没有抚养权的一方在带孩子外出时，未注意交通安全，导致孩子被车撞伤。这种情况下，如果能够证明该方未尽到合理的监护责任，那么他们可能需要为孩子的受伤承担民事赔偿责任，甚至在某些情况下可能构成交通肇事罪等刑事责任。
法律建议：
- 对于没有抚养权的一方来说，无论是否拥有抚养权，都应当尽到对孩子的监护和照顾义务，确保孩子的安全和健康。
- 如果孩子在没有抚养权的一方陪同下发生意外事故，建议及时与有抚养权的一方沟通，并共同处理后续事宜。如果涉及法律责任问题，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
后续行动建议：
- 如果您或您身边的人遇到了类似情况，建议首先确保孩子的安全和健康，及时送医治疗。
- 然后，与有抚养权的一方沟通，了解事故的具体情况和责任划分。
- 如果涉及法律责任问题，或者双方对责任划分有争议，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。