结论：交通事故私下解决后没有出具事故认定书，一般情况下是可以重新找交警要求出具事故认定书的，但具体能否成功出具以及后续的处理方式，需根据事故的具体情况、双方协商情况以及相关法律法规来综合判断。
分析说明：
事故认定书的性质与作用：
- 事故认定书是交警部门根据事故现场勘查、调查取证等程序，对事故责任进行划分并出具的书面文件。
- 它是处理交通事故、确定赔偿责任、进行保险理赔等的重要依据。
私下解决后重新要求出具事故认定书的情况：
- 双方协商一致：如果双方在私下解决后，仍然希望获得事故认定书以明确责任或作为后续处理的依据，可以共同向交警部门提出申请。
- 存在争议或后续问题：如果私下解决后，双方对责任划分、赔偿金额等存在争议，或者后续出现了新的情况（如伤情恶化、财产损失扩大等），也可以向交警部门申请出具事故认定书，以便通过法律途径解决争议。
交警部门的处理方式：
- 调查核实：交警部门在接到申请后，会进行调查核实，包括询问当事人、查看现场照片、调取监控录像等。
- 出具或拒绝出具：如果交警部门认为能够查明事故责任，且符合出具事故认定书的条件，会依法出具；如果认为无法查明事故责任或不符合出具条件，可能会拒绝出具，并说明理由。
法律后果与建议：
- 法律后果：如果交警部门出具了事故认定书，双方应依据认定书上的责任划分进行赔偿等后续处理；如果拒绝出具，双方可能需要通过诉讼等法律途径来解决争议。
- 建议：在私下解决交通事故时，建议双方尽量保留好相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），并签订书面协议明确责任划分和赔偿金额等事项。如果后续需要事故认定书作为依据，可以及时向交警部门提出申请。
特殊场景：
- 如果事故发生后双方未报警：在这种情况下，如果双方私下解决后希望获得事故认定书，可能需要先向交警部门报案，并说明情况。交警部门会根据实际情况决定是否受理并开展调查。
- 如果事故已经处理完毕且双方无争议：在这种情况下，重新要求出具事故认定书可能意义不大，因为双方已经就赔偿等事项达成了一致。但如果出于某种原因（如保险理赔需要）确实需要事故认定书，也可以向交警部门提出申请。
行动建议：
- 如果您希望重新获得事故认定书，建议首先与对方协商一致，并共同向交警部门提出申请。
- 在申请时，提供尽可能多的相关证据和资料，以便交警部门能够更准确地查明事故责任。
- 如果交警部门拒绝出具事故认定书或您对认定结果有异议，可以考虑通过法律途径（如诉讼）来解决争议。
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