结论：老婆可通过协商、诉讼等途径索赔，具体需根据首饰归属、老公行为性质等情况确定。以下是详细分析：
一、确定首饰的归属
- 若首饰属于老婆个人财产
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十三条规定，一方的婚前财产，或者一方因受到人身损害获得的赔偿或者补偿，遗嘱或者赠与合同中确定只归一方的财产等属于夫妻一方的个人财产。如果首饰是老婆婚前购买，或者是他人明确只赠与老婆的，那么首饰属于老婆的个人财产。
- 索赔方式：老公背着老婆卖掉其个人财产的行为属于无权处分，老婆有权要求老公赔偿损失。老婆可以先与老公协商，要求老公返还卖首饰所得的款项或者赔偿相应价值的损失。如果协商不成，老婆可以向法院提起诉讼，以老公侵犯其财产权为由，要求老公承担赔偿责任。在诉讼过程中，老婆需要提供证据证明首饰是其个人财产，例如购买发票、赠与合同等。
- 若首饰属于夫妻共同财产
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零六十二条规定，夫妻在婚姻关系存续期间所得的工资、奖金、劳务报酬，生产、经营、投资的收益，知识产权的收益等财产为夫妻的共同财产，归夫妻共同所有。如果首饰是在婚姻关系存续期间购买，且没有特别约定归一方所有，那么首饰属于夫妻共同财产。
- 索赔方式：老公未经老婆同意擅自卖掉夫妻共同财产的行为，侵犯了老婆对共同财产的平等处理权。老婆同样可以先与老公协商，要求老公返还一半的卖首饰所得款项或者赔偿相应价值的损失。如果协商不成，老婆可以向法院提起诉讼。在诉讼中，老婆需要证明首饰是夫妻共同财产，例如购买时间在婚姻关系存续期间等。法院会根据具体情况，判决老公返还老婆应得的份额。
二、考虑老公行为的其他性质
- 若老公是为了挥霍、赌博等恶意目的卖首饰
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零九十二条规定，夫妻一方隐藏、转移、变卖、毁损、挥霍夫妻共同财产，或者伪造夫妻共同债务企图侵占另一方财产的，在离婚分割夫妻共同财产时，对该方可以少分或者不分。
- 索赔方式：如果老婆打算离婚，在离婚诉讼中，老婆可以以老公存在上述恶意行为为由，要求法院在分割夫妻共同财产时，对老公少分或者不分财产。同时，老婆还可以要求老公赔偿因卖首饰给自己造成的损失。如果老婆不打算离婚，也可以先就老公卖首饰的行为进行协商或诉讼索赔，后续再根据情况决定是否离婚。
- 若老公卖首饰是为了家庭共同利益
- 情况分析：如果老公卖首饰是为了偿还家庭共同债务、支付家庭必要的生活费用等为了家庭共同利益的目的，虽然老公的行为可能没有经过老婆的同意，但在处理方式上可能存在一定的合理性。
- 索赔方式：在这种情况下，老婆可以先与老公沟通，了解卖首饰的具体原因和款项用途。如果确实是为了家庭共同利益，老婆可以考虑原谅老公的行为，但也可以要求老公在今后的家庭事务处理中更加透明和与自己协商。如果老婆认为老公的行为给自己造成了损失，例如首饰对自己有特殊的意义等，也可以与老公协商赔偿事宜，协商不成可以通过诉讼解决，但法院在判决时会综合考虑各种因素，可能会适当减轻老公的赔偿责任。